Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.

Passo 1

O enunciado dá a integral pi integral0^pi/2l[(1+cos x)^2 - 1r],dx que representa o volume de um sólido de revolução. O conteúdo é curvas definidas por funções de x, extensão em x de 0 a pi/2, e fórmulas de volume por discos com furo.

Passo 2

A região plana é aquela limitada pela curva y = 1 + cos x por cima, pela reta y = 1 por baixo e pelos limites verticais x = 0 e x = pi/2. Se fizermos o esboço, vemos uma “campânula” acima de y=1, cujo topo oscila entre 2 (em x=0) e 1 (em x=pi/2).
O eixo de revolução é o eixo x. Ao girar essa região em torno de x, cada fatia vertical entre y=1 e y=1+cos x gera um anel (um disco com furo).

Passo 3

O método usado é o de discos com furo (também chamado método de lavadores ou washers). Nesse método, para cada x fixo, o raio externo é R(x)=1+cos x e o raio interno é r(x)=1, gerando a integral de volume
V = pi integral0^pi/2 l[R(x)^2 - r(x)^2r] ,dx = pi integral0^pi/2 l[(1+cos x)^2 - 1^2r] ,dx

Resposta

Região: entre as curvas y=1+cos x e y=1, para 0<= x<=pi/2. Eixo de revolução: eixo x. Método: discos com furo (washers), usando raios externo 1+cos x e interno 1.

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