Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e identificar a curva dada em coordenadas polares por r = -6(1 + cosθ). O conteúdo é o estudo de limaçons e cardioides em coordenadas polares e, para resolver, vamos analisar a forma geral, simetria e pontos notáveis da curva.

Passo 2

Reconhecemos que uma curva do tipo r = a(1 + cosθ) é um limaçon. Quando |a| é igual ao coeficiente de cosθ (aqui ambos valem 6), temos um caso especial chamado cardioide.

Passo 3

O sinal negativo em r = -6(1 + cosθ) indica que todos os pontos serão refletidos girando a curva em π. Para deixar r positivo, fazemos a troca de parâmetro φ = θ + π. Então:
r = -6l(1 + cosθr) = -6l(1 + cos(φ - π)r) = -6l(1 - cosφr) = 6l(1 - cosφr)

Passo 4

Assim obtemos r = 6(1 - cosφ), que é uma cardioide com cusp no polo e abertura voltada para a esquerda, simétrica em torno do eixo polar.

Passo 5

Para esboçar, calculamos pontos-chave na forma original:
  1. r = 0 quando 1 + cosθ = 0 ⇒ θ = π (cusp no polo).
  2. Máximo em |r| quando 1 + cosθ = 2 ⇒ θ = 0 ⇒ r = -12, que com r negativo corresponde ao ponto de raio 12 em θ + π = π (coordenada cartesiana x = -12).
  3. Em θ = π/2 ou 3π/2, temos r = -6(1 + 0) = -6 ⇒ pontos a 6 unidades apontando para θ + π = 3π/2 (para π/2) e θ + π = 5π/2 (para 3π/2).

Passo 6

Com esses pontos e sabendo que é um cardioide, traçamos o esboço: um único lóbulo com cusp no polo e extremidade mais afastada em x = -12.

Resposta

A curva é uma cardioide (caso especial de limaçon) com cusp no polo para θ = π, simétrica em torno do eixo polar e com extremidade mais afastada no ponto de coordenada (-12, 0).

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