Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
que representa o volume de um sólido de revolução. Precisamos esboçar a região plana limitada pelas curvas envolvidas, identificar em torno de qual eixo ela gira e dizer qual método de cálculo de volume está sendo usado.
Passo 2
Identificamos as duas curvas que limitam a região:
(reta horizontal) e
(parábola).
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
Logo, o domínio em
vai de
a
, e para esses valores a parábola fica sempre abaixo da reta
.
Passo 3
Esboço da região plana:
- Desenhe o eixo
e o eixo . - Marque a reta horizontal em
. - Desenhe a parábola com vértice em
passando por e . - A região está “entre” essas duas curvas, fechada verticalmente por
e .
Passo 4
O formato da integral
é característico do método dos anéis (ou discos com furo), em que giramos essa região em torno de um eixo horizontal. Como usamos
e os raios são alturas das curvas até esse eixo, o eixo de revolução é o eixo
(isto é,
).
Passo 5
No método dos anéis definimos:
O volume é dado por
que coincide exatamente com a integral fornecida.
Resposta
Eixo de revolução: eixo
(horizontal,
).
Método: método dos anéis (discos com furo).
Método: método dos anéis (discos com furo).