Cada integral abaixo representa o volume de um sólido de revolução. Esboce a região plana e determine o eixo de revolução e o método utilizado para o cálculo do volume.
\pi \int_{0}^{2}\left[6^{2}-\left(x^{2}-2 x+6\right)^{2}\right] d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\pi \int_{0}^{2}\bigl[6^{2} - \bigl(x^{2} - 2x + 6\bigr)^{2}\bigr]\,dx
que representa o volume de um sólido de revolução. Precisamos esboçar a região plana limitada pelas curvas envolvidas, identificar em torno de qual eixo ela gira e dizer qual método de cálculo de volume está sendo usado.

Passo 2

Identificamos as duas curvas que limitam a região: \displaystyle y = 6 (reta horizontal) e \displaystyle y = x^2 - 2x + 6 (parábola).
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
x^2 - 2x + 6 = 6
x^2 - 2x = 0
x(x - 2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \;\text{ou}\; x=2.
Logo, o domínio em x vai de 0 a 2, e para esses valores a parábola fica sempre abaixo da reta y=6.

Passo 3

Esboço da região plana:
  1. Desenhe o eixo x e o eixo y.
  2. Marque a reta horizontal em y=6.
  3. Desenhe a parábola com vértice em (1,5) passando por (0,6) e (2,6).
  4. A região está “entre” essas duas curvas, fechada verticalmente por x=0 e x=2.

Passo 4

O formato da integral
\pi\int_{0}^{2}\bigl[R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr]\,dx
é característico do método dos anéis (ou discos com furo), em que giramos essa região em torno de um eixo horizontal. Como usamos dx e os raios são alturas das curvas até esse eixo, o eixo de revolução é o eixo x (isto é, y=0).

Passo 5

No método dos anéis definimos:
R(x)=\text{raio externo} = 6, \qquad r(x)=\text{raio interno} = x^2 - 2x + 6.
O volume é dado por
V = \int_{0}^{2}\pi\bigl[R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr]\,dx
que coincide exatamente com a integral fornecida.

Resposta

Eixo de revolução: eixo x (horizontal, y=0).
Método: método dos anéis (discos com furo).

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