Seja f(x)=\pi \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \pi^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da função f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o raio de convergência da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.

Passo 1

O enunciado define uma função por uma série de potências:
f(x) = \pi \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \pi^{n}}\,x^{n}.
O conteúdo é séries de potências. Precisamos:
a) determinar o intervalo de convergência da série que define f;
b) obter a série de potências para f'(x) e seu raio de convergência;
c) obter a série de potências para \int_{0}^{x} f(t)\,dt e o intervalo de convergência dessa nova série.

Passo 2

Para achar o raio R da série original aplicamos o teste da razão. O coeficiente geral é
a_n = \pi\,\frac{(-1)^{n+1}}{n \pi^{n}},
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\lim_{n\to\infty} \biggl|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\biggr| = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1}\,\bigl|\tfrac{x}{\pi}\bigr| = \bigl|\tfrac{x}{\pi}\bigr|.
Converge se \lvert x\rvert<\pi. No ponto x=\pi a série vira
\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n},
que converge por teste da série alternada; em x=-\pi ela diverge. Assim o intervalo de convergência é (-\pi,\pi].

Passo 3

Derivando termo a termo, a derivada de x^n é n x^{n-1}, então
f'(x) = \pi \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi^n}\,n x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\pi^{n-1}}\,x^{n-1}.
Fazendo k=n-1 obtemos
f'(x) = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\Bigl(\tfrac{x}{\pi}\Bigr)^{k},
que é uma série geométrica de razão -x/\pi. O raio de convergência mantém-se R=\pi.

Passo 4

Para a integral definida, integramos termo a termo de 0 a x:
\int_{0}^{x} f(t)\,dt = \pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\pi^n}\,\frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\,\pi^{n-1}}\,x^{n+1}.
Reaplicando o teste da razão, o raio continua R=\pi. Em cada extremo os termos caem como \tfrac1{n(n+1)}, então a série converge em x=\pm\pi e o intervalo de convergência é [-\,\pi,\pi].

Resposta

a) O domínio de f (intervalo de convergência) é (-\pi,\pi].
b)
f'(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\Bigl(\tfrac{x}{\pi}\Bigr)^{k},
com raio de convergência R=\pi.
c)
\int_{0}^{x}f(t)\,dt = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\,\pi^{n-1}}\,x^{n+1},
com intervalo de convergência [-\,\pi,\pi].

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