Seja f(x)=\pi \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \pi^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da função f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da função f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o raio de convergência da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.
Passo 1
O enunciado define uma função por uma série de potências:
O conteúdo é séries de potências. Precisamos:
a) determinar o intervalo de convergência da série que define f;
b) obter a série de potências para f'(x) e seu raio de convergência;
c) obter a série de potências para \int_{0}^{x} f(t)\,dt e o intervalo de convergência dessa nova série.
Passo 2
Para achar o raio R da série original aplicamos o teste da razão. O coeficiente geral é
Reaplicando o teste da razão, o raio continua R=\pi. Em cada extremo os termos caem como \tfrac1{n(n+1)}, então a série converge em x=\pm\pi e o intervalo de convergência é [-\,\pi,\pi].
Resposta
a) O domínio de f (intervalo de convergência) é (-\pi,\pi].