Obtenha o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas x=y^{2} e x=1 ao longo da reta x=1.
17. Utilizando a técnica de cascas cilíndricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo- x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno da reta x=1, a região limitada pelas curvas
x = y^{2}
e
x = 1.
O método escolhido é o das cascas cilíndricas, que usa tiras verticais paralelas ao eixo de rotação (a reta x=1).

Passo 2

Precisamos achar os limites em y onde as curvas se intersectam. Igualando
y^{2} = 1
vem
y = \pm 1.
Logo, a região está compreendida entre y=-1 e y=1, mas vamos reescrever em função de x para usar tiras verticais.

Passo 3

Para cascas cilíndricas tomamos uma tira vertical em x\in[0,1]. Em cada x, a altura da tira é a diferença entre a cota superior e inferior em y, ou seja,
y_{\text{topo}} = \sqrt{x}, \quad y_{\text{fundo}} = -\sqrt{x},
de modo que a altura vale
\text{altura} = \sqrt{x} - \bigl(-\sqrt{x}\bigr) = 2\sqrt{x}.
A casca produzida por essa tira tem raio igual à distância horizontal até a reta x=1:
\text{raio} = 1 - x.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método das cascas cilíndricas é
V = 2\pi \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} (\text{raio})(\text{altura})\,dx.
Substituindo os valores:
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(1 - x\bigr)\bigl(2\sqrt{x}\bigr)\,dx = 4\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{1/2} - x^{3/2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
\int_{0}^{1} x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}, \quad \int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{2}{5}.
Logo,
V = 4\pi\Bigl(\tfrac{2}{3} - \tfrac{2}{5}\Bigr) = 4\pi\Bigl(\tfrac{10-6}{15}\Bigr) = 4\pi\cdot \tfrac{4}{15} = \tfrac{16\pi}{15}.

Resposta

V = \frac{16\pi}{15}.

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