Considere a sequência
. Em cada item, faça o que se pede.
(a) Mostre que a sequência é estritamente decrescente a partir do seu sexto termo;
(b) Mostre que a sequência é limitada;
(c) A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequência.
(a) Mostre que a sequência é estritamente decrescente a partir do seu sexto termo;
(b) Mostre que a sequência é limitada;
(c) A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede:
(a) provar que é estritamente decrescente a partir de
;
(b) mostrar que ela é limitada;
(c) decidir se converge e, em caso afirmativo, achar .
Para isso vamos usar o teste da razão para monotonia e limite, e o fato de termos termos positivos.
(a) provar que
(b) mostrar que ela é limitada;
(c) decidir se converge e, em caso afirmativo, achar
Para isso vamos usar o teste da razão para monotonia e limite, e o fato de termos termos positivos.
Passo 2
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Note que
cancela e resta apenas
.
Passo 3
Para
temos
e, como
,
Logo, para todo
vale
, isto é, a sequência é estritamente decrescente a partir do sexto termo.
Passo 4
Cada
é positivo, pois
,
,
e
.
Como a partir de ela é decrescente e continua positiva, tem-se
Como a partir de
logo
é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 5
Para investigar o limite note que
Quando a razão tende a um número estritamente menor que
, segue que
. Além disso, sendo positiva e eventualmente decrescente,
converge.
Resposta
(a) A partir de
,
, logo é estritamente decrescente.
(b) Como e decrescente para
, está limitada por
e por
.
(c) Sim, converge; .
(b) Como
(c) Sim, converge;