Considere a sequência \left(\frac{\ln (2) 2^{n} \pi^{n}}{n!}\right)_{n \in \mathbb{N}}. Em cada item, faça o que se pede.
(a) Mostre que a sequência é estritamente decrescente a partir do seu sexto termo;
(b) Mostre que a sequência é limitada;
(c) A sequência é convergente? Justifique sua resposta. Se a resposta for positiva, determine o limite da sequência.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{\ln(2)\,2^n\pi^n}{n!},\quad n\in\mathbb{N},
e pede:
(a) provar que (a_n) é estritamente decrescente a partir de n=6;
(b) mostrar que ela é limitada;
(c) decidir se converge e, em caso afirmativo, achar \lim_{n\to\infty}a_n.
Para isso vamos usar o teste da razão para monotonia e limite, e o fato de termos termos positivos.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\ln(2)\,2^{n+1}\pi^{n+1}/(n+1)!}{\ln(2)\,2^n\pi^n/n!} = \frac{2\pi}{n+1}.
Note que \ln(2) cancela e resta apenas \tfrac{2\pi}{n+1}.

Passo 3

Para n\ge6 temos n+1\ge7 e, como 2\pi\approx6,283,
\frac{2\pi}{n+1}\le \frac{2\pi}{7}<1.
Logo, para todo n\ge6 vale a_{n+1}<a_n, isto é, a sequência é estritamente decrescente a partir do sexto termo.

Passo 4

Cada a_n é positivo, pois \ln(2)>0, 2^n>0, \pi^n>0 e n!>0.
Como a partir de n=6 ela é decrescente e continua positiva, tem-se
0<a_n\le \max\{a_1,a_2,\dots,a_6\}\quad\forall n\in\mathbb{N},
logo (a_n) é limitada inferiormente por 0 e superiormente por \max_{1\le k\le6}a_k.

Passo 5

Para investigar o limite note que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2\pi}{n+1} =0<1.
Quando a razão tende a um número estritamente menor que 1, segue que a_n\to0. Além disso, sendo positiva e eventualmente decrescente, (a_n) converge.

Resposta

(a) A partir de n=6, \frac{a_{n+1}}{a_n}=\tfrac{2\pi}{n+1}<1, logo é estritamente decrescente.
(b) Como a_n>0 e decrescente para n\ge6, está limitada por 0 e por \max_{1\le k\le6}a_k.
(c) Sim, converge; \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.

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