Para cada integral dada, verifique se a resposta está correta. NOTA: Não é para calcular a integral.
\int \frac{1}{x^{2}-1} d x=\frac{1}{2} \ln \left[\frac{x-1}{x+1}\right]+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a “antiderivada”
F(x)=\frac{1}{2}\,\ln\!\biggl[\frac{x-1}{x+1}\biggr]+c
é correta para
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.
Como não devemos recalcular a integral, vamos testar se F'(x)=\frac1{x^2-1}.

Passo 2

Calcular a derivada de
\displaystyle \ln\!\bigl[\tfrac{x-1}{x+1}\bigr].
Usamos a propriedade
\ln\!\bigl[\tfrac{x-1}{x+1}\bigr]=\ln(x-1)-\ln(x+1), então
\frac{d}{dx}\ln\!\biggl[\frac{x-1}{x+1}\biggr] =\frac{d}{dx}\ln(x-1)-\frac{d}{dx}\ln(x+1) =\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.

Passo 3

Simplificando a diferença de frações:
\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} =\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac{2}{x^{2}-1}.
Portanto,
\frac{d}{dx}\biggl[\frac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{x-1}{x+1}\bigr)\biggr] =\frac12\cdot\frac{2}{x^2-1} =\frac{1}{x^2-1},
que coincide com o integrando.

Resposta

A expressão está correta (válida para |x|>1), pois sua derivada retorna \frac1{x^2-1}.

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