(1,0 pontos) Se x=\frac{20-\sqrt{p}}{0,2} é a função de demanda de um bem, onde x é a quantidade demandada e p é o preço, determinar: a função receita total e a função receita marginal para x=8 unidades. Verifique se existem valores de x para os quais a receita marginal é nula.

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda inversa
x = \frac{20 - \sqrt{p}}{0,2},
onde x é a quantidade demandada e p o preço. Pede-se a função receita total R(x), a receita marginal em x=8 e se existem valores de x tais que a receita marginal seja zero. Vamos usar conceito de receita R(x)=p(x)\,x e derivada para obter a receita marginal.

Passo 2

Invertemos a relação para expressar o preço como função de x. Partindo de
0,2\,x = 20 - \sqrt{p},
temos
\sqrt{p} = 20 - 0,2\,x \quad\Longrightarrow\quad p(x) = \bigl(20 - 0,2\,x\bigr)^{2}.

Passo 3

A receita total é
R(x)=x\cdot p(x) = x\,(20 - 0,2\,x)^{2}.
Expandindo o quadrado (20 - 0,2x)^{2}=400 -8x +0,04x^{2}, resulta
R(x) = 400\,x \;-\;8\,x^{2}\;+\;0,04\,x^{3}.

Passo 4

A receita marginal é a derivada de R(x):
R'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(400x -8x^{2} +0,04x^{3}\bigr) = 400 -16x +0,12x^{2}.
Para x=8,
R'(8) = 400 -16\cdot8 +0,12\cdot8^{2} = 400 -128 +0,12\cdot64 = 400 -128 +7,68 = 279,68.

Passo 5

Para encontrar onde R'(x)=0, resolvemos
0,12\,x^{2} -16\,x +400 =0.
Multiplicando por 25 para facilitar:
3\,x^{2} -400\,x +10000 =0
e aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{400 \pm \sqrt{400^{2} -4\cdot3\cdot10000}}{2\cdot3} = \frac{400 \pm \sqrt{160000 -120000}}{6} = \frac{400 \pm 200}{6}.
Assim,
x_{1} = \frac{600}{6} = 100, \quad x_{2} = \frac{200}{6} = \frac{100}{3}\approx 33{,}33.
Esses valores estão no domínio 0 \le x \le 100 imposto pela demanda, logo há dois pontos onde a receita marginal é zero.

Resposta

R(x) = 400\,x -8\,x^{2} +0,04\,x^{3}.
R'(8) = 279,68.
Os valores de x que anulam a receita marginal são x = 100 e x = \tfrac{100}{3}\approx 33{,}33.

Exercícios relacionados