Para cada integral dada, verifique se a resposta está correta. NOTA: Não é para calcular a integral.
\int x^{2} e^{x^{3}-2} d x=\frac{1}{3} e^{x^{3}-2}+c.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
\int x^{2}e^{x^{3}-2}\,dx = \frac{1}{3}e^{x^{3}-2}+C
está correta, sem recomputar a integral do zero. O conteúdo envolvido é a técnica de substituição simples em integrais.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3}-2.
Então, ao derivar, obtemos
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int x^{2}e^{x^{3}-2}\,dx, temos
\int x^{2}e^{x^{3}-2}\,dx = \int e^{u}\,\bigl(\tfrac{1}{3}\,du\bigr) = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du.

Passo 4

Sabendo que \displaystyle \int e^{u}\,du = e^{u}+C, concluímos
\int x^{2}e^{x^{3}-2}\,dx = \frac{1}{3}e^{u} + C = \frac{1}{3}e^{x^{3}-2} + C.

Passo 5

A transformação e a antiderivada coincidiriam exatamente com o resultado dado.

Resposta

A resposta fornecida está correta.

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