(\mathbf{1}, \mathbf{5} p. ) Calcule \int_{0}^{1} f(x) d x sabendo que f(x)=x^{2} \cdot e^{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}f(x)\,dx
sabendo que
f(x)=x^{2}e^{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}.
Vamos usar duas técnicas: substituição para o termo x^{2}e^{x^{3}} e a regra do poder para \sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}.

Passo 2

Calcular
\int_{0}^{1}x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
Fazemos t=x^{3}, logo dt=3x^{2}dx e x^{2}dx=\tfrac{dt}{3}. Quando x vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Assim,
\int_{0}^{1}x^{2}e^{x^{3}}\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}e^{t}\,dt =\frac{1}{3}\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} =\frac{e-1}{3}.

Passo 3

Calcular
\int_{0}^{1}\sqrt[3]{x^{2}}\,dx =\int_{0}^{1}x^{2/3}\,dx.
Pela regra do poder,
\int x^{2/3}\,dx =\frac{x^{(2/3)+1}}{(2/3)+1} =\frac{x^{5/3}}{5/3} =\frac{3}{5}x^{5/3},
então
\int_{0}^{1}x^{2/3}\,dx =\frac{3}{5}\bigl[\,x^{5/3}\bigr]_{0}^{1} =\frac{3}{5}.

Passo 4

Somamos os dois resultados:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\frac{e-1}{3}+\frac{3}{5}.
Para simplificar, colocamos denominador comum 15:
\frac{e-1}{3}+\frac{3}{5} =\frac{5(e-1)+9}{15} =\frac{5e-5+9}{15} =\frac{5e+4}{15}.

Resposta

\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\frac{5e+4}{15}.

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