esboce o gráfico de cada função f(x) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Depois acrescente ao seu esboço os retângulos associados com a soma de Riemann \sum_{k=1}^{4} f\left(c_{k}\right) \Delta x_{k} tomando c_{k} como (a) extremidade esquerda, (b) extremidade direita e (c) ponto médio do k-ésimo subintervalo. (Faça um esboço para cada conjunto de retângulos.)
f(x)=x^{2}-1, \quad[0,2]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=x^{2}-1 em [0,2], dividir esse intervalo em quatro subintervalos de mesmo comprimento e, sobre o mesmo esboço, desenhar as quatro barras (retângulos) correspondentes à soma de Riemann
\sum_{k=1}^{4}f(c_{k})\,\Delta x_{k}
nos três casos:
(a) c_{k} é a extremidade esquerda de cada subintervalo,
(b) c_{k} é a extremidade direita,
(c) c_{k} é o ponto médio.
O conteúdo usado é particionar o intervalo, calcular \Delta x, escolher c_{k} em cada partição e desenhar retângulos de base \Delta x e altura f(c_{k}).

Passo 2

Calcule \Delta x e os nós da partição. Como o intervalo é [0,2] e queremos 4 subintervalos,
\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0,5.
Os pontos da partição são
x_{0}=0,\quad x_{1}=0,5,\quad x_{2}=1,0,\quad x_{3}=1,5,\quad x_{4}=2,0.

Passo 3

Determine os pontos c_{k} e as alturas f(c_{k}) em cada caso.
(a) Extremidade esquerda:
c_{1}=x_{0}=0,\;c_{2}=x_{1}=0{,}5,\;c_{3}=x_{2}=1{,}0,\;c_{4}=x_{3}=1{,}5.
Calcule
f(0)=0^{2}-1=-1,\quad f(0{,}5)=0{,}5^{2}-1=-0{,}75,
f(1)=1^{2}-1=0,\quad f(1{,}5)=1{,}5^{2}-1=1{,}25.
(b) Extremidade direita:
c_{1}=x_{1}=0{,}5,\;c_{2}=x_{2}=1{,}0,\;c_{3}=x_{3}=1{,}5,\;c_{4}=x_{4}=2{,}0.
Calcule
f(2)=2^{2}-1=3,
e os outros valores já calculados em (a).
(c) Ponto médio:
c_{1}=0{,}25,\;c_{2}=0{,}75,\;c_{3}=1{,}25,\;c_{4}=1{,}75.
Calcule
f(0{,}25)=0{,}25^{2}-1=-0{,}9375,\quad f(0{,}75)=0{,}75^{2}-1=-0{,}4375,
f(1{,}25)=1{,}25^{2}-1=0{,}5625,\quad f(1{,}75)=1{,}75^{2}-1=2{,}0625.

Passo 4

Instruções para o esboço:
  1. Trace o eixo x de 0 a 2 e o eixo y.
  2. Desenhe a parábola y=x^{2}-1, que passa por (0,-1), atravessa o eixo x em x=1 e atinge (2,3).
  3. Marque na base os pontos 0,0{,}5,1{,}5,2.
  4. Para cada caso (a), (b) e (c), desenhe sobre cada subintervalo [x_{k-1},x_{k}] um retângulo de largura \Delta x=0,5 e altura igual a f(c_{k}).
  • Se f(c_{k})>0, o retângulo fica acima do eixo x.
  • Se f(c_{k})<0, o retângulo fica estendido abaixo do eixo x.
  1. Repita o esboço três vezes, um para cada escolha de c_{k}.

Resposta

(a) Extremidade esquerda
c_{k}=\{0,\;0{,}5,\;1{,}0,\;1{,}5\},\quad f(c_{k})=\{-1,\;-0{,}75,\;0,\;1{,}25\}.
(b) Extremidade direita
c_{k}=\{0{,}5,\;1{,}0,\;1{,}5,\;2{,}0\},\quad f(c_{k})=\{-0{,}75,\;0,\;1{,}25,\;3\}.
(c) Ponto médio
c_{k}=\{0{,}25,\;0{,}75,\;1{,}25,\;1{,}75\}, \quad f(c_{k})=\{-0{,}9375,\;-0{,}4375,\;0{,}5625,\;2{,}0625\}.
Em cada caso, desenhe quatro retângulos de base 0,5 e alturas dadas acima sobre o esboço da parábola.

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