Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
integral0^pi / 4 2 pi(pi-x)(cos x-sen x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^pi/42pi,(pi - x),(cos x - sin x),dx
e afirma que ela representa um volume obtido pelo método dos cilindros (casca cilíndrica). Para usar esse método precisamos identificar no integrando a “distância ao eixo” (o raio da casca) e a “altura da casca” em função de x, bem como os limites de x.

Passo 2

Comparando com a fórmula do método das cascas cilíndricas,
V = integrala^b2pil(raio(x)r)l(a<ura(x)r),dx,
vemos que
– a expressão pi - x corresponde ao raio da casca, ou seja, à distância de um ponto (x,y) até a reta vertical x=pi;
– a expressão cos x - sin x representa a altura da casca, isto é, a distância vertical entre a curva y=cos x-sin x e o eixo y=0.

Passo 3

Portanto, a região do plano que está sendo girada é aquela limitada:
– por cima pela curva
y = cos x - sin x,
– por baixo pelo eixo
y = 0,
– à esquerda pela reta
x = 0,
– à direita pela reta
x = pi4

Passo 4

O sólido é gerado pela rotação dessa região em torno da reta vertical
x = pi
Em outras palavras, imagine o pedaço de área sob a curva y=cos x-sin x entre x=0 e x=pi/4 e acima do eixo x; ao girá-lo 360circ em torno de x=pi, forma-se o sólido cujo volume está dado pela integral proposta.

Resposta

O sólido obtido pela rotação da região limitada por y=cos x-sin x, y=0, x=0 e x=pi/4 ao redor da reta vertical x=pi.

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