Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e afirma que ela representa um volume obtido pelo método dos cilindros (casca cilíndrica). Para usar esse método precisamos identificar no integrando a “distância ao eixo” (o raio da casca) e a “altura da casca” em função de
, bem como os limites de
.
Passo 2
Comparando com a fórmula do método das cascas cilíndricas,
vemos que
– a expressão corresponde ao raio da casca, ou seja, à distância de um ponto
até a reta vertical
;
– a expressão representa a altura da casca, isto é, a distância vertical entre a curva
e o eixo
.
– a expressão
– a expressão
Passo 3
Portanto, a região do plano que está sendo girada é aquela limitada:
– por cima pela curva
– por cima pela curva
– por baixo pelo eixo
– à esquerda pela reta
– à direita pela reta
Passo 4
O sólido é gerado pela rotação dessa região em torno da reta vertical
Em outras palavras, imagine o pedaço de área sob a curva
entre
e
e acima do eixo
; ao girá-lo
em torno de
, forma-se o sólido cujo volume está dado pela integral proposta.
Resposta
O sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
,
e
ao redor da reta vertical
.