Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão para séries de potências, depois verificamos o comportamento nos pontos finais.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão ao termo geral
Calculem
Quando
ntoinfty ,
tfracn+1n+2to1 . Logo
O teste da razão diz que a série converge se este limite for menor que 1, isto é,
Isto dá o intervalo aberto
-4<x<0 e raio de convergência
R=2 .
Passo 3
Agora checamos o ponto
x=-4 . Substituindo em
an temos
A série fica
que é alternante, com
l|1/(n+1)r| decrescente a zero, logo converge (Teste de Leibniz). Assim
x=-4 está no intervalo.
Passo 4
No ponto
x=0 temos
e a série
é (aproximadamente) a série harmônica deslocada, que diverge. Logo
x=0 não entra no intervalo.
Resposta
O intervalo de convergência é