Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=1^+infty (x+2)^n(n+1) 2^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em -2:
sumn=1^infty (x+2)^n(n+1),2^n
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão para séries de potências, depois verificamos o comportamento nos pontos finais.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao termo geral
an = (x+2)^n(n+1),2^n
Calculem
|an+1an| = |(x+2)^n+1(n+2),2^n+1cdot(n+1),2^n(x+2)^n| = |x+2|2,n+1n+2
Quando ntoinfty, tfracn+1n+2to1. Logo
limntoinfty|an+1an| = |x+2|2
O teste da razão diz que a série converge se este limite for menor que 1, isto é,
|x+2|2<1 Longrightarrow |x+2|<2
Isto dá o intervalo aberto -4<x<0 e raio de convergência R=2.

Passo 3

Agora checamos o ponto x=-4. Substituindo em an temos
x+2=-2 Longrightarrow an = (-2)^n(n+1),2^n = (-1)^nn+1
A série fica
sumn=1^infty (-1)^nn+1,
que é alternante, com l|1/(n+1)r| decrescente a zero, logo converge (Teste de Leibniz). Assim x=-4 está no intervalo.

Passo 4

No ponto x=0 temos
x+2=2 Longrightarrow an = 2^n(n+1),2^n = 1n+1,
e a série
sumn=1^infty 1n+1
é (aproximadamente) a série harmônica deslocada, que diverge. Logo x=0 não entra no intervalo.

Resposta

O intervalo de convergência é
[-4,,0)

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