Encontre os valores dos limites (podem naio existir):
(a) lim (x, y) (a, b) x^3 y^3x^4+2 y^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite em dois casos diferentes:
– Quando (a,b) é tal que o denominador não zera ( a^4+2b^4neq0).
– Quando o denominador zera, i.e.\ (a,b)=(0,0).
O conteúdo aqui é continuidade de funções racionais de duas variáveis e análise de limite em ponto singular via mudança para coordenadas polares ou caminhos.

Passo 2

Suponha que (a,b) seja um ponto em que
a^4 + 2,b^4 neq 0
Nesse caso a função
f(x,y) = x^3y^3x^4 + 2y^4
é contínua em (a,b), logo
lim(x,y)to(a,b) x^3y^3x^4 + 2y^4 = a^3b^3a^4 + 2b^4

Passo 3

Note que a^4 + 2b^4 = 0 só ocorre se e somente se a=0 e b=0. Assim o único ponto singular é (0,0).

Passo 4

Para (a,b)=(0,0) calculamos
lim(x,y)to(0,0) x^3y^3x^4 + 2y^4
Em coordenadas polares ( x=rcostheta, y=rsintheta) temos
x^3y^3x^4 + 2y^4 = r^6cos^3theta,sin^3thetar^4(cos^4theta+2sin^4theta) = r^2;cos^3theta,sin^3thetacos^4theta+2sin^4theta
Quando rto0, esse quociente tende a 0 independentemente de theta. Portanto
lim(x,y)to(0,0) x^3y^3x^4 + 2y^4 = 0

Resposta

Para (a,b)neq(0,0):
lim(x,y)to(a,b) x^3y^3x^4 + 2y^4 = a^3b^3a^4 + 2b^4
Para (a,b)=(0,0):
lim(x,y)to(0,0) x^3y^3x^4 + 2y^4 = 0

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