Para cada inteiro a, definimos o valor absoluto a, como sendo |a|=\left\{\begin{array}{c}a \text { se } a \geq 0 \\\\ -a \text { se } a<0\end{array}\right.. De modo que para cada a, b inteiros prove que:
|a+b| \leq|a|+|b|

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade triangular para inteiros:
|a+b|\le |a|+|b|
Aqui o conteúdo é valor absoluto e vamos usar a propriedade básica de que, para qualquer inteiro x,
-\,|x|\le x\le |x|.

Passo 2

Aplicamos a propriedade a a e a b separadamente:
-\,|a|\le a\le |a|
-\,|b|\le b\le |b|.

Passo 3

Somando termo a termo as duas desigualdades obtemos
(-\,|a|)+(-\,|b|)\;\le\;a+b\;\le\;|a|+|b|,
ou seja,
-\,\bigl(|a|+|b|\bigr)\;\le\;a+b\;\le\;|a|+|b|.

Passo 4

Pela definição de valor absoluto, se um número y satisfaz
-\,M\le y\le M,
então |y|\le M. Aqui tomamos y=a+b e M=|a|+|b|. Logo
|a+b|\le |a|+|b|.

Resposta

|a+b|\le |a|+|b|.

Exercícios relacionados