Seja m \in \mathbb{Z}. Mostre que se m \leqslant 0, então m \leqslant-m.

Passo 1

O enunciado diz: seja m\in\mathbb{Z}. Provar que, se m\leqslant0, então m\leqslant -m.
Aqui vamos usar duas propriedades básicas da ordem em \mathbb{Z}:
  1. Multiplicar uma desigualdade por -1 inverte o sentido dela.
  2. A transitividade da relação “ \leqslant” em \mathbb{Z}.

Passo 2

Suponha que m\leqslant0. Ao multiplicar ambos os lados por -1 (e invertendo a desigualdade) obtemos
-m \;\geqslant\; 0,
ou seja,
0 \;\leqslant\; -m.

Passo 3

Agora temos as duas desigualdades
m \;\leqslant\; 0 \quad\text{e}\quad 0 \;\leqslant\; -m.
Pela transitividade de “ \leqslant”, conclui-se
m \;\leqslant\; -m.

Resposta

Portanto, se m\leqslant0 então m\leqslant -m.

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