Para cada inteiro a, definimos o valor absoluto a, como sendo |a|=\left\{\begin{array}{c}a \text { se } a \geq 0 \\\\ -a \text { se } a<0\end{array}\right.. De modo que para cada a, b inteiros prove que: |a-b| \leq|a|+|b|
Passo 1
O enunciado define, para inteiros a\) e \(b\), o valor absoluto por
\[|x| = \begin{cases} x &\text{se }x\ge0,\\\\ -\,x &\text{se }x<0, \end{cases}
e pede para provar que
|a-b|\le|a|+|b|.
O conteúdo principal aqui é a desigualdade triangular em (\mathbb{Z}].
Passo 2
Uma propriedade fundamental do valor absoluto, válida para qualquer inteiro c, é
-|c|\;\le\;c\;\le\;|c|.
Passo 3
Aplique essa propriedade a c=a e a c=-b:
Para c=a temos
-|a|\le a\le|a|.
Para c=-b temos |-b|=|b| e, portanto,
-|b|\le -b\le|b|.
Somando as desigualdades centrais de cada caso:
a + (-b)\;\le\;|a| + |b|\quad\Longrightarrow\quad a - b\le|a|+|b|.
Passo 4
Agora recolha as desigualdades das extremidades: -|a|\le a e -b\ge -|b| (esta última vem de b\le|b| multiplicando por -1, que inverte a desigualdade). Somando:
a + (-b)\;\ge\;-|a| + \bigl(-|b|\bigr) \;=\;-\,\bigl(|a|+|b|\bigr) \quad\Longrightarrow\quad -(a - b)\le|a|+|b|.
Passo 5
Juntando as duas desigualdades obtidas,
-(a - b)\le|a|+|b| \quad\text{e}\quad a - b\le|a|+|b|,