Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x)=arcsen e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta f(x)=arcsin(e^x). O assunto aqui é derivação de funções trigonométricas inversas e vamos precisar da regra da cadeia, além da fórmula da derivada de arcsin(u).

Passo 2

Para começar, lembramos a fórmula da derivada de arcsin(u) em função de :
u(x)

Passo 3

Agora identificamos a parte interna da composição: u(x)=e^x. Calculamos sua derivada:
u'(x)=ddxe^x=e^x

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia juntando as duas fórmulas: substituímos u(x) e u'(x) na derivada de arcsin(u). Assim,
f'(x)=u'(x)raiz1 - [u(x)]^2=e^xraiz1 - (e^x)^2=e^xraiz1 - e^2x

Resposta

f'(x)=e^xraiz1 - e^2x.

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