Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x)=arcsen(xraiz1-x^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=arcsen x/raiz1-x^2. O conteúdo principal aqui é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de quociente.

Passo 2

Vamos definir u(x)=dfracxraiz1-x^2, de modo que . Pela regra da cadeia temos:
f(x)=arcsen(u(x))

Passo 3

Agora vamos calcular u'(x). Escrevendo u(x)=x,(1-x^2)^-1/2 e usando regra do produto e da potência:
u'(x)=(1-x^2)^-1/2+xcdotl(-tfrac12r)(1-x^2)^-3/2(-2x)
;=;(1-x^2)^-1/2+x^2(1-x^2)^3/2=(1-x^2)+x^2(1-x^2)^3/2=1(1-x^2)^3/2

Passo 4

Em seguida, calculamos raiz1-u(x)^2. Primeiro:
1-u(x)^2=1-x^21-x^2=1-2x^21-x^2,
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raiz1-u(x)^2=raiz1-2x^2raiz1-x^2

Passo 5

Finalmente substituímos em f'(x)=u'(x)/raiz1-u^2:
f'(x)=1/(1-x^2)^3/2raiz1-2x^2/raiz1-x^2=1(1-x^2)raiz1-2x^2

Resposta

f'(x)=dfrac1(1-x^2)raiz1-2x^2, |x|<1/raiz2.

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