Em cada item abaixo, calcule a derivada de segunda ordem da função dada.
h(x)=ln (sec x+tan x).

Passo 1

O enunciado pede para achar a segunda derivada de h(x)=ln(sec x+tan x). Vamos usar derivada de log, regra da cadeia e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro aplicamos a derivada de ln(u):
ddxln(u)=u'u
Aqui u=sec x+tan x, então calculamos u':
u'=ddx(sec x)+ddx(tan x)=sec xtan x+sec^2 x=sec x,(tan x+sec x)
Logo,
h'(x)=u'u=sec x,(tan x+sec x)sec x+tan x

Passo 3

Perceba que no quociente a parte (tan x+sec x) cancela com (sec x+tan x), então
h'(x)=sec x

Passo 4

Agora derivamos novamente: usamos que
ddx(sec x)=sec xtan x
Portanto
h''(x)=sec xtan x

Resposta

h’’(x)=\sec x\tan x

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