Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x)=x arctg xcos 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=dfracx,arctgxcos2x. Vamos usar conteúdos de derivada de quociente, derivada de produto, a derivada de arctgx e a regra da cadeia para cos2x.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares:
u(x)=x,arctgx, v(x)=cos2x
Assim f(x)=u(x)/v(x).

Passo 3

Derivamos cada uma:
Para u(x)=x,arctgx usamos regra do produto:
$$u’(x)=1\cdot\operatorname{arctg}x + x\cdot\frac{1}{1+x2}=\operatorname{arctg}x+\frac{x}{1+x2}.
u'(x)=1cdotarctgx + xcdot11+x^2=arctgx+x1+x^2 v’(x)=-\sin2x\cdot2=-2\sin2x.$$

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 =l(arctgx+tfracx1+x^2r)cos2x - x,arctgx,(-2sin2x)cos^2 2x

Passo 5

Para deixar mais legível, podemos escrever:
f'(x)=l(arctgx+tfracx1+x^2r)cos2x+2x,arctgx,sin2xcos^2 2x
Ou ainda fatorando sec2x e tan2x:
f'(x)=sec2xl[arctgx+x1+x^2+2x,arctgx,tan2xr]

Resposta

f'(x)=dfracl(arctgx+tfracx1+x^2r)cos2x+2x,arctgx,sin2xcos^2 2x

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