Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
l(x)=e^tan (ln (sen(x)))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função l(x)=e^tan(ln(sen(x))). O conteúdo envolvido é derivada de funções compostas, usando a regra da cadeia, e vamos precisar das derivadas de e^u, tan(u), ln(u) e sen(x).

Passo 2

Vamos identificar as camadas de composição. Definimos:
u = tan(v), v = ln(w), w = sen(x)

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivar l(x)=e^u. Sabemos que a derivada de e^u é e^ucdot u'. Logo:
l'(x)=e^ucdot u'

Passo 4

Agora derivamos u=tan(v). A derivada de tan(v) é sec^2(v) vezes a derivada de v. Então:
u'=sec^2(v)cdot v'

Passo 5

Em seguida, derivamos v=ln(w). A regra diz que a derivada de ln(w) é w'/w. Como w=sen(x) e w'=cos(x), obtemos:
v'=cos(x)sen(x)=cot(x)

Passo 6

Finalmente, juntamos tudo na expressão de l'(x). Substituindo u, v e v' em l'(x)=e^ucdot u' e u'=sec^2(v)cdot v', ficamos com:
l'(x)=e^tan(ln(sen(x)))cdotsec^2(ln(sen(x)))cdotcot(x)

Resposta

l'(x)=e^tan(ln(sen(x)))cdotsec^2(ln(sen(x)))cdotcot(x)

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