Em cada item abaixo, calcule a derivada de segunda ordem da função dada.
f(x)=ln (x)x^2

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a segunda derivada de f(x)=ln(x)/x². O conteúdo envolvido é derivadas de funções, usando as regras do produto e da cadeia. Vamos reescrever a função e, passo a passo, obter f’(x) e f’’(x).

Passo 2

Reescrevemos a função como produto pra facilitar a derivação: f(x)=ln(x)·x^{-2}. Assim podemos aplicar a regra do produto, que diz que (u·v)’=u’·v+u·v’.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada f’(x). Tomando u=ln(x) e v=x^{-2}:
Calculando u’ e v’:
u’=\frac{1}{x},
v’=-2x^{-3}.
Aplicando regra do produto:
f'(x)=u'·v+u·v'=1x·x^-2+ln(x)·(-2x^-3)=x^-3-2x^-3ln(x)=x^-3(1-2ln(x))

Passo 4

Agora fazemos a segunda derivada f’’(x), aplicando de novo a regra do produto em f’(x)=x^{-3}(1-2\ln(x)). Seja U=x^{-3} e V=1-2\ln(x). Então:
Calculamos U’ e V’:
U’=-3x^{-4},
V’=-2·\frac{1}{x}=-2x^{-1}.
Logo:
f''(x)=U'·V+U·V'=-3x^-4(1-2ln(x))+x^-3(-2x^-1)

Passo 5

Basta agora simplificar f’’(x):
f''(x)=-3x^-4(1-2ln(x))-2x^-4=x^-4(-3+6ln(x)-2)=x^-4(6ln(x)-5)

Resposta

f''(x)=6ln(x)-5x^4

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