Em cada item abaixo, calcule a derivada de segunda ordem da função dada.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a segunda derivada de f(x)=ln(x)/x². O conteúdo envolvido é derivadas de funções, usando as regras do produto e da cadeia. Vamos reescrever a função e, passo a passo, obter f’(x) e f’’(x).
Passo 2
Reescrevemos a função como produto pra facilitar a derivação: f(x)=ln(x)·x^{-2}. Assim podemos aplicar a regra do produto, que diz que (u·v)’=u’·v+u·v’.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada f’(x). Tomando u=ln(x) e v=x^{-2}:
Calculando u’ e v’:
Calculando u’ e v’:
u’=\frac{1}{x},
v’=-2x^{-3}.
v’=-2x^{-3}.
Aplicando regra do produto:
Passo 4
Agora fazemos a segunda derivada f’’(x), aplicando de novo a regra do produto em f’(x)=x^{-3}(1-2\ln(x)). Seja U=x^{-3} e V=1-2\ln(x). Então:
Calculamos U’ e V’:
Calculamos U’ e V’:
U’=-3x^{-4},
V’=-2·\frac{1}{x}=-2x^{-1}.
V’=-2·\frac{1}{x}=-2x^{-1}.
Logo:
Passo 5
Basta agora simplificar f’’(x):