Verifique se a função f(x, y)=e^x y+ln (2 y^2x^2) é uma solução da equação diferencial parcial xy partial^2 fpartial x^2+yx partial^2 fpartial y^2=2 x y e^x y.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a função é uma solução da equação diferencial parcial dada por . Vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , e depois substituir na equação para ver se tudo bate.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de partial fpartial x = partialpartial x ( e^x y ) + partialpartial x ( ln(2 y^2x^2) ) = y e^x y + ( -2x ) em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( y e^x y - 2x ) = y^2 e^x y + 2x^2 em relação a :

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para partial fpartial y = partialpartial y ( e^x y ) + partialpartial y ( ln(2 y^2x^2) ) = x e^x y + 4 y2 y^2 = x e^x y + 2y . Primeiro, a primeira derivada de partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( x e^x y + 2y ) = x^2 e^x y - 2y^2 em relação a :
Agora, a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Vamos substituir xy ( y^2 e^x y + 2x^2 ) + yx ( x^2 e^x y - 2y^2 ) = x y e^x y + 2 xy x^2 + y x e^x y - 2 yx y^2 e 2 x y e^x y + 2x - 2x = 2 x y e^x y na equação diferencial parcial:
Simplificando:
Tudo bate certinho com o lado direito da equação!

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação diferencial parcial dada.

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