Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\frac{3 x+1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{3x+1}{x}\right).
Informações e pontos relevantes fornecidos pelo enunciado:
\text{função } f(x)=\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{3x+1}{x}\right).çã
Não foram dadas outras restrições explicitamente (por exemplo x\neq 0 é óbvio porque há divisão por x). A resposta pedida é f'(x), a derivada de f.

Passo 2

Estratégia (o que vamos usar) — sem resolver ainda: para derivar uma composição do tipo \operatorname{arcsen}(u(x)) usamos a regra da cadeia: derivada de \operatorname{arcsen} em relação a u multiplicada pela derivada de u(x). Para obter u'(x) (onde u(x)=\dfrac{3x+1}{x}) podemos usar a regra do quociente ou simplificar primeiro. Vou usar a regra do quociente porque é boa de ver passo a passo e sempre funciona. Depois juntamos tudo e fazemos uma simplificação final.

Passo 3

Definindo a função interna e lembrando a fórmula da derivada de \operatorname{arcsen}.
Definimos
u(x)=\frac{3x+1}{x}.
A fórmula (teorema) que usamos para a derivada de \operatorname{arcsen} é: para uma função u(x) diferenciável,
\frac{d}{dx}\left[\operatorname{arcsen}\big(u(x)\big)\right]=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\big(u(x)\big)^2}}.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x e \sqrt{\cdot} é a raiz quadrada positiva. É importante: essa fórmula só faz sentido quando 1-(u(x))^2>0 (ou seja, dentro do domínio onde o argumento da raiz é não negativo).

Passo 4

Calculando u'(x) aplicando a regra do quociente de forma detalhada.
Regra do quociente: se u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} com q(x)\neq 0, então
u'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^2}.
No nosso caso p(x)=3x+1 e q(x)=x. Então p'(x)=3 e q'(x)=1. Aplicando a regra:
u'(x)=\frac{3\cdot x-(3x+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{3x-3x-1}{x^2}=\frac{-1}{x^2}.
Portanto concluímos
u'(x)=-\frac{1}{x^2}.
Nota alternativa (rápida): poderíamos também ter simplificado u(x)=3+\dfrac{1}{x} e derivado 3 (derivada zero) e \dfrac{1}{x} (derivada -1/x^2), obtendo o mesmo resultado.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para obter f'(x).
Usando a fórmula do Passo 3 e substituindo u(x) e u'(x):
f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\big(u(x)\big)^2}}=\frac{-\dfrac{1}{x^2}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{3x+1}{x}\right)^2}}.

Passo 6

Organizando a expressão para ficar limpa (manipulação algébrica).
A forma acima já é correta, mas podemos escrevê-la de forma mais compacta:
f'(x)=-\frac{1}{x^2\;\sqrt{\,1-\left(\dfrac{3x+1}{x}\right)^2\,}}.
Se quisermos, podemos também reescrever a raiz de modo a eliminar o quociente dentro da raiz. Observando
\left(\dfrac{3x+1}{x}\right)^2=\frac{(3x+1)^2}{x^2},
temos
1-\left(\dfrac{3x+1}{x}\right)^2=\frac{x^2-(3x+1)^2}{x^2}.
Então
\sqrt{1-\left(\dfrac{3x+1}{x}\right)^2}=\sqrt{\frac{x^2-(3x+1)^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{x^2-(3x+1)^2}}{|x|}.
Substituindo na derivada:
f'(x)=-\frac{1}{x^2}\cdot\frac{|x|}{\sqrt{x^2-(3x+1)^2}}=-\frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-(3x+1)^2}}.
E simplificando \dfrac{|x|}{x^2}=\dfrac{1}{|x|} (já que x^2=|x|^2), obtemos
f'(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-(3x+1)^2}}.
Essa forma com valor absoluto aparece ao manipular a raiz. Ambas as formas (a do Passo 5 e esta) são equivalentes quando interpretadas no domínio adequado.

Passo 7

Observações sobre domínio e validade da derivada (importante na prova).
  • Precisa ter x\neq 0 porque a expressão original tem divisão por x.
  • Além disso, a função \operatorname{arcsen} exige que o argumento esteja em [-1,1], ou seja
\left|\frac{3x+1}{x}\right|\le 1.
Dentro do intervalo de x que satisfaz essa desigualdade a raiz no denominador é não nula e a derivada acima é válida (exceto possivelmente nos pontos onde o denominador se anula). Em exercícios de prova normalmente basta apresentar a derivada simbólica e mencionar que é válida para x no domínio da função.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^2\;\sqrt{\,1-\left(\dfrac{3x+1}{x}\right)^2\,}}

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