Calcule a integral
, por fraçōes parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
utilizando frações parciais (isto está explicitamente pedido). Informações relevantes dadas:
- O integrando é a função racional
. - O numerador tem grau
e o denominador tem grau . - O método exigido é decompor em frações parciais e integrar termo a termo.
Nada mais é pedido; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador para ver a forma das frações parciais. O denominador é
Agora fatoramos a quadrática
. Para achar as raízes podemos resolver
Usando a fórmula de Bhaskara (ou tentando fatores), temos o discriminante
. Assim as raízes são
Isso dá
e
. Portanto a fatoração completa do denominador é
Passo 3
Como os fatores do denominador são três fatores lineares distintos (
,
,
) e o numerador tem grau menor que o denominador, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
,
e
são constantes a determinar. Explico por que: cada fator linear distinto contribui com uma fração do tipo constante sobre esse fator. Isso transforma a integral original numa soma de integrais simples do tipo
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da identidade por
para obter uma igualdade de polinômios:
Agora vamos determinar
,
e
. Uma maneira eficiente é escolher valores de
que anulem termos.
Passo 5
Escolhemos
. Substituindo em
temos
Logo
Passo 6
Escolhemos
. Substituindo,
Os dois primeiros termos são zero porque
. Então
Passo 7
Escolhemos
. Substituindo,
O primeiro e o último termos são zero porque
. Portanto
Passo 8
Temos então
(Se quiser checar, pode expandir e verificar que a identidade polinomial volta a ser
. Fiz essa verificação mental e dá certo, mas não é necessário repeti-la aqui.)
Passo 9
Agora reescrevemos a integral usando a decomposição:
Substituímos os valores de
,
,
:
Passo 10
Integramos termo a termo. Lembre que a primitiva de
é
, pois
. Assim:
Somando e adicionando a constante de integração
, a primitiva geral é a soma dessas expressões.