Calcule a integral \int \frac{x+4}{x^{3}+3 x^{2}-10 x} d x, por fraçōes parciais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+4}{x^{3}+3x^{2}-10x}\,dx,
utilizando frações parciais (isto está explicitamente pedido). Informações relevantes dadas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x+4}{x^{3}+3x^{2}-10x}.
  • O numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 3.
  • O método exigido é decompor em frações parciais e integrar termo a termo.
    Nada mais é pedido; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador para ver a forma das frações parciais. O denominador é
x^{3}+3x^{2}-10x = x\,(x^{2}+3x-10).
Agora fatoramos a quadrática x^{2}+3x-10. Para achar as raízes podemos resolver
x^{2}+3x-10=0.
Usando a fórmula de Bhaskara (ou tentando fatores), temos o discriminante \Delta=3^{2}-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49. Assim as raízes são
x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-3\pm7}{2}.
Isso dá x=2 e x=-5. Portanto a fatoração completa do denominador é
x^{3}+3x^{2}-10x = x\,(x-2)\,(x+5).

Passo 3

Como os fatores do denominador são três fatores lineares distintos ( x, x-2, x+5) e o numerador tem grau menor que o denominador, a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{x+4}{x\,(x-2)\,(x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-2},
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico por que: cada fator linear distinto contribui com uma fração do tipo constante sobre esse fator. Isso transforma a integral original numa soma de integrais simples do tipo \int \dfrac{1}{x-a}\,dx.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da identidade por x\,(x-2)\,(x+5) para obter uma igualdade de polinômios:
x+4 = A\,(x-2)\,(x+5) + B\,x\,(x-2) + C\,x\,(x+5).
Agora vamos determinar A, B e C. Uma maneira eficiente é escolher valores de x que anulem termos.

Passo 5

Escolhemos x=0. Substituindo em
x+4 = A\,(x-2)\,(x+5) + B\,x\,(x-2) + C\,x\,(x+5),
temos
0+4 = A\,(0-2)\,(0+5) + 0 + 0.
Logo
4 = A\cdot(-2)\cdot5 = -10A \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{2}{5}.

Passo 6

Escolhemos x=2. Substituindo,
2+4 = A\,(2-2)\,(2+5) + B\cdot2\cdot(2-2) + C\cdot2\cdot(2+5).
Os dois primeiros termos são zero porque (2-2)=0. Então
6 = C\cdot2\cdot7 = 14C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}.

Passo 7

Escolhemos x=-5. Substituindo,
-5+4 = A\;(-5-2)\;(-5+5) + B\cdot(-5)\cdot(-5-2) + 0.
O primeiro e o último termos são zero porque (-5+5)=0. Portanto
-1 = B\cdot(-5)\cdot(-7) = 35B \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{1}{35}.

Passo 8

Temos então
A=-\frac{2}{5},\qquad B=-\frac{1}{35},\qquad C=\frac{3}{7}.
(Se quiser checar, pode expandir e verificar que a identidade polinomial volta a ser x+4. Fiz essa verificação mental e dá certo, mas não é necessário repeti-la aqui.)

Passo 9

Agora reescrevemos a integral usando a decomposição:
\int \frac{x+4}{x^{3}+3x^{2}-10x}\,dx = \int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-2}\right)\,dx.
Substituímos os valores de A, B, C:
\int\left(-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x} -\frac{1}{35}\cdot\frac{1}{x+5} + \frac{3}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)\,dx.

Passo 10

Integramos termo a termo. Lembre que a primitiva de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a|, pois \dfrac{d}{dx}\ln|x-a|=\dfrac{1}{x-a}. Assim:
\int -\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x}\,dx = -\frac{2}{5}\ln|x|,
\int -\frac{1}{35}\cdot\frac{1}{x+5}\,dx = -\frac{1}{35}\ln|x+5|,
\int \frac{3}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx = \frac{3}{7}\ln|x-2|.
Somando e adicionando a constante de integração C, a primitiva geral é a soma dessas expressões.

Resposta

-\frac{2}{5}\ln|x|-\frac{1}{35}\ln|x+5|+\frac{3}{7}\ln|x-2|+C

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