Resolva a integral
pelo método das trigonométricas
Passo 1
Enunciado: calcular a integral
.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
.
Informações dadas relevantes: a integranda é um produto de potências de funções trigonométricas —
elevado a
e
elevado a
. Não há limites (é uma integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante arbitrária
.
Passo 2
Escolha do método e motivo (explicação didática e amigável): quando integramos produtos como
, uma regra prática é:
- se uma das potências for ímpar, convém separar um fator dessa função (por exemplo, separar um
se a potência de for ímpar) e usar a substituição (a outra função), porque sua derivada aparece junto (por exemplo, ).
Aqui a potência deé , que é ímpar. Então vamos “guardar” um fator para o via e reescrever o restante usando a identidade pitagórica
Breve aula sobre a substituição: se fazemos
então
. Isso transforma a integral trigonométrica em uma integral em
(normalmente um polinômio), que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Reescrever a integranda separando um fator
:
Agora usar a identidade
. Substituindo:
Portanto a integral fica
Passo 4
Fazer a substituição
. Então
Substituindo na integral (lembre que
):
Multiplicando os fatores no integrando:
Logo a integral em
é
Passo 5
Integrar termo a termo usando a regra de potência: para
,
Aplicando aos termos
e
:
Portanto
Passo 6
Voltar para a variável
usando
. Substituindo:
Comentário final curto: essa é uma forma clássica e direta; se quiser, pode fatorar
como
, mas ambas representam a mesma primitiva. Boa: você já tem a resposta — é só treinar mais alguns exercícios desse tipo para ganhar confiança!