Resolva a integral \int\left(\cos ^{3} x \cdot \operatorname{sen}^{4} x\right) d x pelo método das trigonométricas

Passo 1

Enunciado: calcular a integral \displaystyle \int\left(\cos^{3}x\cdot \sin^{4}x\right)\,dx.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f(x)=\cos^{3}x\sin^{4}x.
Informações dadas relevantes: a integranda é um produto de potências de funções trigonométricas — \cos x elevado a 3 e \sin x elevado a 4. Não há limites (é uma integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante arbitrária C.

Passo 2

Escolha do método e motivo (explicação didática e amigável): quando integramos produtos como \cos^{m}x\sin^{n}x, uma regra prática é:
  • se uma das potências for ímpar, convém separar um fator dessa função (por exemplo, separar um \cos x se a potência de \cos for ímpar) e usar a substituição u= (a outra função), porque sua derivada aparece junto (por exemplo, \frac{d}{dx}\sin x=\cos x).
    Aqui a potência de \cos é \,3, que é ímpar. Então vamos “guardar” um fator \cos x para o dx via du e reescrever o restante usando a identidade pitagórica
\cos^{2}x=1-\sin^{2}x.
Breve aula sobre a substituição: se fazemos u=\sin x então du=\cos x\,dx. Isso transforma a integral trigonométrica em uma integral em u (normalmente um polinômio), que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Reescrever a integranda separando um fator \cos x:
\cos^{3}x\cdot \sin^{4}x = \left(\cos^{2}x\right)\left(\cos x\right)\sin^{4}x.
Agora usar a identidade \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Substituindo:
\left(\cos^{2}x\right)\left(\cos x\right)\sin^{4}x = \bigl(1-\sin^{2}x\bigr)\sin^{4}x\cdot\cos x.
Portanto a integral fica
\int\left(\cos^{3}x\cdot \sin^{4}x\right)\,dx = \int \bigl(1-\sin^{2}x\bigr)\sin^{4}x\cos x\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição u=\sin x. Então
du=\cos x\,dx.
Substituindo na integral (lembre que \sin x = u):
\int \bigl(1-\sin^{2}x\bigr)\sin^{4}x\cos x\,dx = \int (1-u^{2})\,u^{4}\,du.
Multiplicando os fatores no integrando:
(1-u^{2})u^{4} = u^{4}-u^{6}.
Logo a integral em u é
\int (u^{4}-u^{6})\,du.

Passo 5

Integrar termo a termo usando a regra de potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando aos termos u^{4} e u^{6}:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5},\qquad \int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7}.
Portanto
\int (u^{4}-u^{6})\,du = \frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 6

Voltar para a variável x usando u=\sin x. Substituindo:
\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C = \frac{\sin^{5}x}{5}-\frac{\sin^{7}x}{7}+C.
Comentário final curto: essa é uma forma clássica e direta; se quiser, pode fatorar \sin^{5}x como \sin^{5}x\!\left(\tfrac{1}{5}-\tfrac{\sin^{2}x}{7}\right)+C, mas ambas representam a mesma primitiva. Boa: você já tem a resposta — é só treinar mais alguns exercícios desse tipo para ganhar confiança!

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{5}x}{5}-\frac{\sin^{7}x}{7}+C

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