Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(b) f(x) = raiz(cubica(x)), x0 = 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função no ponto . Aqui, estamos trabalhando com Derivadas, um tópico fundamental no Cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada baseada em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da taxa de variação da função à medida que se aproxima de zero.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função e ao ponto , temos:
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 4

Agora, para resolver esse limite, vamos usar uma técnica de racionalização para eliminar a raiz cúbica do numerador. Sabemos que:
Aqui, e . Multiplicamos numerador e denominador por :
Simplificando o numerador usando a identidade acima:
Então, fica:

Passo 5

Agora, tiramos o limite substituindo por 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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