Determinar o valor dea
para que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
maior que 9 para que a integral definida de
de
até o infinito seja igual a
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque um dos limites é o infinito. Vamos precisar calcular essa integral e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função do tipo
. A integral de
é
, desde que
. No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Aplicando a regra de integração, a integral de
é:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa integral de
até o infinito. Lembrando que quando uma das integrais vai até o infinito, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Como
tende ao infinito,
tende a zero. Então, temos:
Passo 5
Agora, igualamos essa expressão ao valor dado no problema:
Para resolver para
, multiplicamos ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como
, descartamos a solução negativa:
Resposta
O valor de
é
.