Determinar o valor dea >9 para que integrala^infty 4(x-9)^3 d x=18.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de maior que 9 para que a integral definida de de até o infinito seja igual a . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque um dos limites é o infinito. Vamos precisar calcular essa integral e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função do tipo . A integral de é , desde que . No nosso caso, temos e .

Passo 3

Aplicando a regra de integração, a integral de integral 4(x - 9)^3 dx = 4 cdot (x - 9)^-2-2 + C = -2 cdot (x - 9)^-2 + C é:
- 2(x - 9)^2 + C
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa integral de integrala^infty 4(x - 9)^3 dx = [ - 2(x - 9)^2 ]a^infty = limb to infty ( - 2(b - 9)^2 + 2(a - 9)^2 ) até o infinito. Lembrando que quando uma das integrais vai até o infinito, calculamos o limite quando 0 + 2(a - 9)^2 = 2(a - 9)^2 tende ao infinito:
Como tende ao infinito, tende a zero. Então, temos:

Passo 5

Agora, igualamos essa expressão ao valor dado no problema:
2(a - 9)^2 = 18
Para resolver para 2 = (a - 9)^28 , multiplicamos ambos os lados por 16 = (a - 9)^2 :
Multiplicando ambos os lados por 8:

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
a - 9 = pm 4
Como a - 9 = 4 implies a = 13 , descartamos a solução negativa:

Resposta

O valor de é .

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