Um reservatório de areia tem o formato de uma pirâmide invertida de base quadrada. A taxa de vazão da areia deste reservatório diminui a uma velocidade de 40 pi cm^3 / min. Esta areia forma no chão um monte cônico. O volume total de areia no reservatório era 243 pi cm^3. Determine a velocidade com que aumenta a altura do cone quando um terço da areia já caiu do reservatório. Sabendo que neste instante a altura do monte é 3 cm e o raio aumenta uma taxa de 0,3 cm / min.

Passo 1

A questão trata de taxas relacionadas: um reservatório em forma de pirâmide invertida perde areia a -40pi cm^3/min e essa areia forma um cone cujo volume é dado por V=tfrac13pi r^2h. Queremos achar dhdt no instante em que já caiu um terço do volume inicial de 243pi, sabendo que então h=3 cm e drdt=0,3 cm/min.

Passo 2

Calculamos o volume de areia que já caiu: como caiu um terço de 243pi, temos Vc=tfrac13times243pi=81pi,
Relacionamos esse volume com o volume do cone para achar o raio naquele instante:
81pi=tfrac13pi r^2cdot3Longrightarrow r^2=81Longrightarrow r=9 cm,

Passo 3

Diferenciamos a expressão do volume do cone em relação ao tempo:
dVdt=13pil(2r,hdrdt+r^2dhdtr),,sabendo que dVdt (crescimento do cone) é +40pi pela conservação de areia.

Passo 4

Substituímos r=9, h=3, drdt=0,3 e dVdt=40pi para resolver
40pi=tfrac13pil(2cdot9cdot3cdot0,3+9^2dhdtr)Longrightarrow120=16,2+81dhdtLongrightarrowdhdt=103,881approx1,28,

Resposta

A altura do cone está aumentando a aproximadamente 1,28 cm/min.

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