Um reservatório de areia tem o formato de uma pirâmide invertida de base quadrada. A taxa de vazão da areia deste reservatório diminui a uma velocidade de
. Esta areia forma no chão um monte cônico. O volume total de areia no reservatório era
. Determine a velocidade com que aumenta a altura do cone quando um terço da areia já caiu do reservatório. Sabendo que neste instante a altura do monte é 3 cm e o raio aumenta uma taxa de
.
Passo 1
A questão trata de taxas relacionadas: um reservatório em forma de pirâmide invertida perde areia a
e essa areia forma um cone cujo volume é dado por
. Queremos achar
no instante em que já caiu um terço do volume inicial de
, sabendo que então
e
.
Passo 2
Calculamos o volume de areia que já caiu: como caiu um terço de
, temos
Relacionamos esse volume com o volume do cone para achar o raio naquele instante:
Relacionamos esse volume com o volume do cone para achar o raio naquele instante:
Passo 3
Diferenciamos a expressão do volume do cone em relação ao tempo:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
para resolver
Resposta
A altura do cone está aumentando a aproximadamente
.