Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de f especificadas:
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2} no ponto (3,4,5) na direção do vetor tangente unitário da curva dada pela intersecção das duas superfícies 2 x^{2}+2 y^{2}-z^{2}=25 e x^{2}+y^{2}=25, no ponto (3,4,5).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}
no ponto (3,4,5) na direção do vetor tangente unitário à curva obtida pela interseção das superfícies
2x^{2}+2y^{2}-z^{2}=25 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=25.
Para resolver isso precisamos de dois ingredientes: o gradiente de f em (3,4,5) e o vetor unitário tangente à curva, que obtemos como produto vetorial dos gradientes das duas superfícies, normalizado.

Passo 2

Definimos
g_{1}(x,y,z)=2x^{2}+2y^{2}-z^{2}-25, \quad g_{2}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-25.
Então
\nabla f(x,y,z)=(2x,2y,-2z), \quad \nabla g_{1}(x,y,z)=(4x,4y,-2z), \quad \nabla g_{2}(x,y,z)=(2x,2y,0).
Em P=(3,4,5) isso vale
\nabla f(3,4,5)=(6,8,-10), \quad \nabla g_{1}(3,4,5)=(12,16,-10), \quad \nabla g_{2}(3,4,5)=(6,8,0).

Passo 3

O vetor tangente à curva é
\nabla g_{1}(3,4,5)\times\nabla g_{2}(3,4,5) =(12,16,-10)\times(6,8,0) =(80,-60,0).
A norma desse vetor é
\|(80,-60,0)\|=\sqrt{80^{2}+(-60)^{2}}=100,
logo o vetor unitário escolhido é
\mathbf u =\frac{1}{100}(80,-60,0) =\bigl(\tfrac45,-\tfrac35,0\bigr).

Passo 4

A derivada direcional de f na direção \mathbf u é
D_{\mathbf u}f(3,4,5) =\nabla f(3,4,5)\cdot\mathbf u =(6,8,-10)\cdot\bigl(\tfrac45,-\tfrac35,0\bigr) =6\cdot\tfrac45+8\cdot\bigl(-\tfrac35\bigr)+(-10)\cdot0 =\tfrac{24}{5}-\tfrac{24}{5}=0.

Resposta

0

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