Estudar a natureza das séries seguintes e determine a soma, caso seja possível:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\operatorname{sen}(n)}{[\log (10)]^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\sin(n)}{[\log(10)]^{n}}
e, se possível, determinar sua soma. O conteúdo aqui é teste de convergência (em particular convergência absoluta via comparação com série geométrica) e soma de séries do tipo \sum \sin(n\,x)\,r^n, usando a fórmula conhecida para \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, note que
\Bigl|(-1)^{n}\,\frac{\sin(n)}{[\log(10)]^{n}}\Bigr| =\frac{|\sin(n)|}{[\log(10)]^{n}} \le\frac{1}{[\log(10)]^{n}}.
Como \log(10)>1, a série \sum 1/[\log(10)]^{n} é geométrica convergente, logo nossa série converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 3

Para achar a soma, reescrevemos o termo geral como
\sin(n)\,\biggl(-\frac{1}{\log(10)}\biggr)^{n},
isto é, \sin(n)\,r^n com
r = -\frac{1}{\log(10)},\quad |r|<1.
Usamos a fórmula (válida para \lvert r\rvert<1 e x real)
\sum_{n=1}^{\infty}\sin(n\,x)\,r^n =\frac{r\,\sin(x)}{1-2r\cos(x)+r^2}.

Passo 4

Aqui x=1 e r=-1/\log(10). Portanto
S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\sin(n)}{[\log(10)]^{n}} =\frac{r\,\sin(1)}{1-2r\cos(1)+r^2}.

Passo 5

Substituindo r=-1/\log(10):
S =\frac{-\frac{\sin(1)}{\log(10)}}% {1-2\bigl(-\tfrac{1}{\log(10)}\bigr)\cos(1)+\bigl(-\tfrac{1}{\log(10)}\bigr)^2} =\frac{-\sin(1)/\log(10)}% {1+\tfrac{2\cos(1)}{\log(10)}+\tfrac{1}{[\log(10)]^2}}.
Multiplicando numerador e denominador por [\log(10)]^2 chega-se a
S=-\frac{\sin(1)\,\log(10)}{[\log(10)]^2+2\cos(1)\,\log(10)+1}.

Resposta

A série converge absolutamente e
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\sin(n)}{[\log(10)]^{n}} =-\frac{\sin(1)\,\log(10)}{[\log(10)]^2+2\cos(1)\,\log(10)+1}.

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