Estudar a natureza das séries seguintes e determine a soma, caso seja possível:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5^{n+1}}{8^{n+2}}+3^{1-n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{5^{n+1}}{8^{n+2}} + 3^{1-n}\Bigr)
ou seja, analisar convergência e, se convergente, encontrar a soma. Vamos reconhecer que isso se divide em duas séries geométricas, uma com termo \frac{5^{n+1}}{8^{n+2}} e outra com termo 3^{1-n}.

Passo 2

Separemos em
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n+1}}{8^{n+2}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}3^{1-n}.
Para a primeira parte, note que
\frac{5^{n+1}}{8^{n+2}} = \frac{5\cdot5^n}{8^2\cdot8^n} = \frac{5}{64}\Bigl(\frac{5}{8}\Bigr)^n.
É uma série geométrica de razão r_1=\frac{5}{8}, com |r_1|<1.

Passo 3

Uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}ar^n converge para \frac{ar}{1-r} se |r|<1. Aqui a=\frac{5}{64} e r=\frac{5}{8}, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n+1}}{8^{n+2}} = \frac{5}{64}\,\frac{\frac{5}{8}}{1-\frac{5}{8}} = \frac{5}{64}\,\frac{\tfrac{5}{8}}{\tfrac{3}{8}} = \frac{5}{64}\cdot\frac{5}{3} = \frac{25}{192}.

Passo 4

Para a segunda série, observe
3^{1-n}=3\cdot3^{-n}=3\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n}.
É geométrica de razão r_2=\tfrac{1}{3}. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}3^{1-n} = 3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^n = 3\cdot\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} = 3\cdot\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Como ambas séries convergem, a soma total é a soma das duas respostas:
\frac{25}{192} + \frac{3}{2} = \frac{25}{192} + \frac{288}{192} = \frac{313}{192}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{313}{192}.

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