Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de
especificadas:
no ponto (
) na direção do vetor normal unitário que aponta para fora da esfera
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
ao longo do vetor normal unitário para fora da esfera
no mesmo ponto. Para isso, vamos usar que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor unitário de direção.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
. Por definição,
Em particular, em
temos
.
Passo 3
O vetor normal à superfície da esfera em
é o vetor que vai do centro
até
. Seu comprimento é
logo o vetor normal unitário para fora é
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de
é
Calculando o produto escalar: