Achar \frac{d u}{d t}, se
u=\overline{\sqrt{x^{2}}+y^{2}}, \text { onde } x=R \cos t, y=R \operatorname{sen} t, z=H

Passo 1

O enunciado pede a derivada \dfrac{du}{dt} de
u = \sqrt{x^2 + y^2}
onde
x = R\cos t,\quad y = R\operatorname{sen} t,\quad R \text{ é constante.}é
Para isso vamos usar a regra da cadeia em coordenadas cartesianas:
\frac{du}{dt} =\frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de u.
Como u=\sqrt{x^2+y^2}=(x^2+y^2)^{1/2},
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot2x =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Determinar \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}.
Como x=R\cos t e y=R\operatorname{sen} t,
\frac{dx}{dt}=-R\operatorname{sen} t, \quad \frac{dy}{dt}=R\cos t.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{du}{dt} =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\bigl(-R\operatorname{sen} t\bigr) +\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\bigl(R\cos t\bigr).

Passo 5

Substituir x=R\cos t e y=R\operatorname{sen} t no numerador e usar \sqrt{x^2+y^2}=R:
numerador
=R\cos t\;(-R\operatorname{sen} t)+R\operatorname{sen} t\;(R\cos t) =-R^2\cos t\operatorname{sen} t+R^2\operatorname{sen} t\cos t=0.
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\frac{du}{dt} =\frac{0}{R}=0.

Resposta

\frac{du}{dt}=0.

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