Em cada item abaixo calcule as derivadas direcionais de f especificadas:
f(x, y, z)=3 x-5 y+2 z no ponto ( 2,2,1 ) na direção do vetor normal unitário que aponta para fora da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 no ponto ( 2,2,1 ).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=3x-5y+2z
no ponto (2,2,1) ao longo do vetor normal unitário para fora da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
no mesmo ponto. Para isso, vamos usar que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário de direção.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Por definição,
\nabla f(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) = (3,\,-5,\,2).
Em particular, em (2,2,1) temos \nabla f(2,2,1)=(3,-5,2).

Passo 3

O vetor normal à superfície da esfera em (2,2,1) é o vetor que vai do centro (0,0,0) até (2,2,1). Seu comprimento é
\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3,
logo o vetor normal unitário para fora é
\mathbf{u}=\Bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(2,2,1) =\nabla f(2,2,1)\cdot \mathbf{u} =(3,-5,2)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr).
Calculando o produto escalar:
3\cdot\tfrac{2}{3}+(-5)\cdot\tfrac{2}{3}+2\cdot\tfrac{1}{3} =2-\tfrac{10}{3}+\tfrac{2}{3} =2-\tfrac{8}{3} =\tfrac{6}{3}-\tfrac{8}{3} =-\tfrac{2}{3}.

Resposta

-\tfrac{2}{3}

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