Achar \frac{d u}{d t}, se
u=\overline{\sqrt{x^{2}}} \frac{z}{\overline{+y^{2}}}, onde x=R \cos t, y=R \operatorname{sen} t, z=H.

Passo 1

O enunciado pede \dfrac{du}{dt} para
u \;=\;\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\frac{z}{y^{2}},
sabendo que
x=R\cos t,\quad y=R\sin t,\quad z=H,
onde R e H são constantes.
Vamos usar a regra da cadeia e, antes de tudo, simplificar u em função de t.

Passo 2

Calculamos primeiro \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como
x^{2}+y^{2}=R^{2}\cos^{2}t+R^{2}\sin^{2}t=R^{2},
segue \sqrt{x^{2}+y^{2}}=R.
Substituindo em u e usando y=R\sin t e z=H, obtemos
u \;=\;R\;\frac{H}{(R\sin t)^{2}} \;=\;\frac{H\,R}{R^{2}\sin^{2}t} \;=\;\frac{H}{R\,\sin^{2}t}.

Passo 3

Agora derivamos
u(t)=\frac{H}{R}\;\sin^{-2}t.
Pela regra da potência e da cadeia,
\frac{du}{dt} =\frac{H}{R}\;\frac{d}{dt}\bigl(\sin^{-2}t\bigr) =\frac{H}{R}\bigl(-2\bigr)\sin^{-3}t\cdot\cos t =-\frac{2H\,\cos t}{R\,\sin^{3}t}.

Resposta

\frac{du}{dt}=-\frac{2H\,\cos t}{R\,\sin^{3}t}.

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