( 2,5 \mathrm{pts} ) Calcule, usando integral tripla, o volume do sólido que está limitado pelo cone z=\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}}, cilindro x^{2}+y^{2}=3 e acima do plano x y.

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O cone z=\sqrt{3x^{2}+3y^{2}}.
    • O cilindro x^{2}+y^{2}=3.
    • A região está "acima do plano x y", ou seja, acima do plano z=0.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o volume do sólido limitado por essas superfícies (o interior do cilindro, limitado abaixo pelo plano z=0 e acima pelo cone dado).

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas e qual a transformação?
  • Observação prática: as superfícies dependem de x^{2}+y^{2} (são radialmente simétricas). Em problemas com simetria circular, coordenadas cilíndricas tornam os limites e a integral muito mais simples.
  • Transformação para coordenadas cilíndricas: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,onde r\ge0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • Jacobiano (fator de escala) da mudança de variáveis: o elemento de volume plano dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Portanto, o elemento de volume tridimensional é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.Explicando: o fator r aparece porque círculos de raio r têm comprimento 2\pi r; ao transformar integrais a área do anel fino é proporcional a r\,dr.

Passo 3

Determinar os limites de integração na forma cilíndrica.
  • Converter as superfícies para r,\theta,z:
    • O cilindro x^{2}+y^{2}=3 vira r^{2}=3, logo r=\sqrt{3}.
    • O cone z=\sqrt{3x^{2}+3y^{2}} vira z=\sqrt{3}\,r.
    • O plano xy é z=0, que será o limite inferior em z.
  • Região em termos de variáveis:
    • r varia de 0 até \sqrt{3}.
    • \theta varia de 0 até 2\pi (toda a volta, por simetria).
    • z varia de 0 até \sqrt{3}\,r.
  • Portanto o volume V pode ser escrito como a integral tripla V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{\sqrt{3}\,r} r\,dz\,dr\,d\theta.Observação: em cada passo expliquei de onde vem cada limite — é importante na prova justificar os limites claramente.

Passo 4

Calcular a integral em z (a integral mais interna).
  • Integrando em z: \int_{0}^{\sqrt{3}\,r} r\,dz = r\left[z\right]_{0}^{\sqrt{3}\,r} = r\cdot(\sqrt{3}\,r) = \sqrt{3}\,r^{2}.Aqui tratamos r como constante ao integrar em z.

Passo 5

Agora integrar em r.
  • A integral em r fica \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{3}\,r^{2}\,dr = \sqrt{3}\int_{0}^{\sqrt{3}} r^{2}\,dr.
  • Calcular a primitiva: \int r^{2}\,dr = \frac{r^{3}}{3}.Avaliando nos limites: \sqrt{3}\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\cdot\frac{(\sqrt{3})^{3}}{3}.
  • Avaliação passo a passo de (\sqrt{3})^{3}: (\sqrt{3})^{3} = (\sqrt{3})^{2}\cdot\sqrt{3} = 3\sqrt{3}.Então \sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3.Portanto a integral dupla (já integrada em z e em r) vale 3.

Passo 6

Integrar em \theta e concluir.
  • Agora resta integrar em \theta de 0 a 2\pi: V=\int_{0}^{2\pi} 3\,d\theta = 3\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = 3\cdot 2\pi = 6\pi.
  • Motivação rápida: como a região é completa em torno do eixo, multiplicamos a área radial por 2\pi.

Resposta

6\pi

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