(
) Calcule, usando integral tripla, o volume do sólido que está limitado pelo cone
, cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- O cone
. - O cilindro
. - A região está "acima do plano
", ou seja, acima do plano .
- O cone
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o volume do sólido limitado por essas superfícies (o interior do cilindro, limitado abaixo pelo plano
e acima pelo cone dado).
- Calcular o volume do sólido limitado por essas superfícies (o interior do cilindro, limitado abaixo pelo plano
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas e qual a transformação?
- Observação prática: as superfícies dependem de
(são radialmente simétricas). Em problemas com simetria circular, coordenadas cilíndricas tornam os limites e a integral muito mais simples. - Transformação para coordenadas cilíndricas:
onde é a distância ao eixo e é o ângulo polar. - Jacobiano (fator de escala) da mudança de variáveis: o elemento de volume plano
vira . Portanto, o elemento de volume tridimensional é Explicando: o fator aparece porque círculos de raio têm comprimento ; ao transformar integrais a área do anel fino é proporcional a .
Passo 3
Determinar os limites de integração na forma cilíndrica.
- Converter as superfícies para
: - O cilindro
vira , logo . - O cone
vira - O plano
é , que será o limite inferior em .
- O cilindro
- Região em termos de variáveis:
-
varia de até . -
varia de até (toda a volta, por simetria). -
varia de até .
-
- Portanto o volume
pode ser escrito como a integral tripla Observação: em cada passo expliquei de onde vem cada limite — é importante na prova justificar os limites claramente.
Passo 4
Calcular a integral em
(a integral mais interna).
- Integrando em
: Aqui tratamos como constante ao integrar em .
Passo 5
Agora integrar em
.
- A integral em
fica - Calcular a primitiva:
Avaliando nos limites: - Avaliação passo a passo de
: Então Portanto a integral dupla (já integrada em e em ) vale .
Passo 6
Integrar em
e concluir.
- Agora resta integrar em
de a : - Motivação rápida: como a região é completa em torno do eixo, multiplicamos a área radial por
.