(2 pts) Calcule, usando mudança de variável por coordenadas polares, a integral
onde D é a região limitada pelos cícrculos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelos círculos
e
.
Informações dadas e o que é pedido:
- Integrando-se a função
sobre a região . - A região
é o anel (ou coroa circular) centrado na origem entre os raios e . - Pedido: calcular o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares (explicação didática)?
- Coordenadas polares são muito naturais quando a região é circular ou anelar centrada na origem.
- Em coordenadas polares define-se
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo polar.
- O elemento de área em coordenadas polares é
Breve justificativa do fator
(Jacobiano): ao variar
em
e
em
, o pequeno elemento de área aproximado tem lados
e
, então a área elementar é aproximadamente
. Esse é o motivo do fator
.
Passo 3
Converter a função integranda para coordenadas polares (passo-a-passo):
- Note que
. Logo
- Multiplicando pelo elemento de área em polares:
- Expandindo o integrando em termos de
:
Passo 4
Determinar os limites de integração (explicação clara):
- A região
é o anel com , isto é . - Portanto
. - Como o anel cobre toda a volta ao redor da origem,
varia de a . - Assim a integral dupla em coordenadas polares fica
Passo 5
Calcular a integral interna em
(detalhando antiderivadas):
- Calcular
. - Antiderivadas:
- Avaliando de
a :
- Calculando cada parte:
logo no ponto
a soma é
.
logo no ponto
a soma é
.
- Diferença:
Passo 6
Calcular a integral em
e montar o resultado final (sem rotular como “Resposta”):
- Temos agora
Passo 7
Verificação rápida (cheque de consistência, didático):
- Separando a integral em duas partes dá para checar:
Somando
, que é compatível com o valor obtido em cálculo direto (observe que
). Esse é um bom sinal de consistência.