(2 pts) Calcule, usando mudança de variável por coordenadas polares, a integral
\iint_{D} 1+3 x^{2}+3 y^{2} d A
onde D é a região limitada pelos cícrculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} 1+3 x^{2}+3 y^{2}\, dA
onde D é a região limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Integrando-se a função 1+3x^{2}+3y^{2} sobre a região D.
  • A região D é o anel (ou coroa circular) centrado na origem entre os raios \sqrt{1}=1 e \sqrt{4}=2.
  • Pedido: calcular o valor numérico da integral dupla acima.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares (explicação didática)?
  • Coordenadas polares são muito naturais quando a região é circular ou anelar centrada na origem.
  • Em coordenadas polares define-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo polar.
  • O elemento de área em coordenadas polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve justificativa do fator r (Jacobiano): ao variar r em dr e \theta em d\theta, o pequeno elemento de área aproximado tem lados dr e r\,d\theta, então a área elementar é aproximadamente dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Esse é o motivo do fator r.

Passo 3

Converter a função integranda para coordenadas polares (passo-a-passo):
  • Note que x^{2}+y^{2}=r^{2}. Logo
1+3x^{2}+3y^{2} = 1+3r^{2}.
  • Multiplicando pelo elemento de área em polares:
\bigl(1+3x^{2}+3y^{2}\bigr)\,dA = \bigl(1+3r^{2}\bigr)\, r\,dr\,d\theta.
  • Expandindo o integrando em termos de r:
\bigl(1+3r^{2}\bigr)r = r + 3r^{3}.

Passo 4

Determinar os limites de integração (explicação clara):
  • A região D é o anel com 1\le x^{2}+y^{2}\le 4, isto é 1\le r^{2}\le 4.
  • Portanto 1\le r\le 2.
  • Como o anel cobre toda a volta ao redor da origem, \theta varia de 0 a 2\pi.
  • Assim a integral dupla em coordenadas polares fica
\iint_{D} 1+3x^{2}+3y^{2}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} \bigl(r + 3r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r (detalhando antiderivadas):
  • Calcular \displaystyle \int_{1}^{2} \bigl(r + 3r^{3}\bigr)\,dr.
  • Antiderivadas:
\int r\,dr = \frac{1}{2}r^{2},\qquad \int 3r^{3}\,dr = \frac{3}{4}r^{4}.
  • Avaliando de r=1 a r=2:
\left[\frac{1}{2}r^{2} + \frac{3}{4}r^{4}\right]_{1}^{2} = \left(\frac{1}{2}\cdot 2^{2} + \frac{3}{4}\cdot 2^{4}\right) - \left(\frac{1}{2}\cdot 1^{2} + \frac{3}{4}\cdot 1^{4}\right).
  • Calculando cada parte:
\frac{1}{2}\cdot 2^{2} = \frac{1}{2}\cdot 4 = 2,\qquad \frac{3}{4}\cdot 2^{4} = \frac{3}{4}\cdot 16 = 12,
logo no ponto r=2 a soma é 2+12=14.
\frac{1}{2}\cdot 1^{2} = \frac{1}{2},\qquad \frac{3}{4}\cdot 1^{4} = \frac{3}{4},
logo no ponto r=1 a soma é \frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}.
  • Diferença:
14 - \frac{5}{4} = \frac{56}{4}-\frac{5}{4}=\frac{51}{4}.

Passo 6

Calcular a integral em \theta e montar o resultado final (sem rotular como “Resposta”):
  • Temos agora
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} \bigl(r + 3r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{51}{4}\right)\, d\theta = \frac{51}{4}\cdot \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{51}{4}\cdot 2\pi.

Passo 7

Verificação rápida (cheque de consistência, didático):
  • Separando a integral em duas partes dá para checar:
\iint_{D} 1\,dA = \text{área}(D) = \pi(2^{2}-1^{2})=\pi(4-1)=3\pi.á
\iint_{D} 3(x^{2}+y^{2})\,dA = 3\iint_{D} r^{2}\,dA = 3\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = 3\cdot 2\pi\cdot \frac{1}{4}(2^{4}-1^{4}) = \frac{45}{2}\pi.
Somando 3\pi + \frac{45}{2}\pi = \frac{6}{2}\pi + \frac{45}{2}\pi = \frac{51}{2}\pi, que é compatível com o valor obtido em cálculo direto (observe que \frac{51}{4}\cdot 2\pi = \frac{51}{2}\pi). Esse é um bom sinal de consistência.

Resposta

\dfrac{51\pi}{2}

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