Para cada item abaixo, calcule f(x+h)-f(x)h, simplificando o resultado o máximo possível.
(a) f(x)=3 x+2
(b) f(x)=x^2
© f(x)=e^x
(d) f(x)=1x
(e) f(x)=1x^2
(f) f(x)=x^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente de diferença f(x+h)-f(x)h para várias funções. O conteúdo principal é a simplificação desse quociente, que é a base do conceito de derivada.

Passo 2

Antes de calcular cada item, a gente lembra que pra qualquer função f, esse quociente é dado por
f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Para f(x)=3x+2, temos
f(x+h)=3(x+h)+2=3x+3h+2,
então
f(x+h)-f(x)h=(3x+3h+2)-(3x+2)h=3hh=3

Passo 4

Para f(x)=x^2, temos
f(x+h)=(x+h)^2=x^2+2xh+h^2,
então
f(x+h)-f(x)h=(x^2+2xh+h^2)-x^2h=2xh+h^2h=2x+h

Passo 5

Para f(x)=e^x, temos
f(x+h)=e^x+h=e^x,e^h,
então
f(x+h)-f(x)h=e^x(e^h-1)h=e^xcdote^h-1h

Passo 6

Para f(x)=1x, temos
f(x+h)=1x+h,
então
f(x+h)-f(x)h=1x+h-1xh=x-(x+h)x(x+h)h=-hx(x+h),h=-1x(x+h)

Passo 7

Para f(x)=1x^2, temos
f(x+h)=1(x+h)^2,
então
f(x+h)-f(x)h=1(x+h)^2-1x^2h=x^2-(x+h)^2x^2(x+h)^2h=-2xh-h^2x^2(x+h)^2,h=-2x+hx^2(x+h)^2

Passo 8

Para f(x)=x^3, temos
f(x+h)=(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3,
então
f(x+h)-f(x)h=(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3h=3x^2+3xh+h^2

Resposta

(a) 3
(b) 2x+h
© ex\cdot\frac{eh-1}{h}
(d) -\frac{1}{x(x+h)}
(e) -\frac{2x+h}{x2(x+h)2}
(f) 3x2+3xh+h2

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