Verifique que a série
sumn >= 1 1n^n
é convergente. Dica: compare com uma série geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a série sumn=1^infty1n^n converge, usando comparação com uma série geométrica. Vamos precisar do teste de comparação direta e do fato de que uma série geométrica de razão menor que 1 converge.

Passo 2

Para n>=2 temos n^n>=2^n, pois n/2>=1 implica (n/2)^n>=1 e portanto
1n^n<=12^n
Logo,
sumn=2^infty1n^n<=sumn=2^infty12^n

Passo 3

Sabendo que a série geométrica de razão 1/2 converge,
sumn=2^infty12^n=1/21-1/2=1
concluímos pelo teste de comparação que
sumn=1^infty1n^n converge (os termos iniciais não afetam a convergência).

Resposta

A série sumn=1^infty1n^n é convergente por comparação com a série geométrica de razão 1/2.

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