Para cada item abaixo, calcule o valor de: Z1 cdot Z2Z1+Z2
Z1=10+j 5 e Z2=20 ang<= 30^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a expressão Z1 cdot Z2Z1+Z2, onde Z1=10+j 5 e Z2=20 ang<= 30^circ. Esse tipo de cálculo geralmente aparece em circuitos elétricos envolvendo impedâncias em corrente alternada (AC). Vamos precisar saber como multiplicar e somar números complexos, além de converter formas retangular e polar quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as impedâncias dadas. Z1 está na forma retangular, que é Z = a + j b, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Já Z2 está na forma polar, Z = |Z| ang<= theta, onde |Z| é a magnitude e theta é o ângulo em graus.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos converter Z2=20 ang<= 30^circ para a forma retangular. Usamos as fórmulas:
a = |Z| cos(theta)
b = |Z| sin(theta)
Então,
a = 20 cos(30^circ) = 20 times raiz32 approx 17,32
b = 20 sin(30^circ) = 20 times 12 = 10
Portanto, Z2 approx 17,32 + j 10.

Passo 4

Agora, vamos calcular o denominador da expressão, que é Z1 + Z2:
Z1 + Z2 = (10 + j 5) + (17,32 + j 10) = 27,32 + j 15

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o numerador, que é Z1 cdot Z2. Multiplicamos os números complexos:
Z1 cdot Z2 = (10 + j 5) cdot (17,32 + j 10)
Usando a propriedade distributiva:
= 10 times 17,32 + 10 times j 10 + j 5 times 17,32 + j 5 times j 10
= 173,2 + j 100 + j 86,6 + j^2 50
Sabendo que j^2 = -1:
= 173,2 + j 186,6 - 50
= 123,2 + j 186,6

Passo 6

Agora, temos o numerador e o denominador na forma retangular:
Z1 cdot Z2Z1 + Z2 = 123,2 + j 186,627,32 + j 15
Para dividir dois números complexos na forma retangular, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
123,2 + j 186,627,32 + j 15 times 27,32 - j 1527,32 - j 15

Passo 7

Vamos calcular o denominador primeiro:
(27,32 + j 15)(27,32 - j 15) = 27,32^2 - (j 15)^2
= 745,1524 - (-225) = 745,1524 + 225 = 970,1524

Passo 8

Agora, calculamos o numerador:
(123,2 + j 186,6)(27,32 - j 15)
Distribuindo:
= 123,2 times 27,32 + 123,2 times (-j 15) + j 186,6 times 27,32 + j 186,6 times (-j 15)
= 3363,104 - j 1848 + j 5100,552 - j^2 2799
= 3363,104 - j 1848 + j 5100,552 + 2799
= (3363,104 + 2799) + (j 5100,552 - j 1848)
= 6162,104 + j 3252,552

Passo 9

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
6162,104 + j 3252,552970,1524 = 6162,104970,1524 + j 3252,552970,1524
approx 6,35 + j 3,35

Resposta

Portanto, o valor de Z1 cdot Z2Z1+Z2 é aproximadamente 6,35 + j 3,35.

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