Para cada item abaixo, calcule o valor de: Z1 cdot Z2Z1+Z2
Z1=5 ang<= 45^circ e Z2=10 ang<=-70^circ

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a expressão Z1 cdot Z2Z1+Z2 onde Z1=5 ang<= 45^circ e Z2=10 ang<=-70^circ. Aqui, estamos lidando com números complexos no formato polar, que é comum em eletrônica e engenharia para representar impedâncias. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar, adicionar e dividir números complexos, geralmente convertendo-os para a forma retangular (a + bj) para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter Z1 e Z2 da forma polar para a forma retangular. A forma polar é r ang<= theta, e a forma retangular é a + bj, onde:
  • a = r cdot cos(theta)
  • b = r cdot sin(theta)
Para Z1=5 ang<= 45^circ:
  • a1 = 5 cdot cos(45^circ) = 5 cdot raiz22 approx 3.5355
  • b1 = 5 cdot sin(45^circ) = 5 cdot raiz22 approx 3.5355
Então, Z1 approx 3.5355 + 3.5355j

Passo 3

Agora, vamos converter Z2=10 ang<=-70^circ para a forma retangular.
Para Z2=10 ang<=-70^circ:
  • a2 = 10 cdot cos(-70^circ) approx 10 cdot 0.3420 approx 3.4202
  • b2 = 10 cdot sin(-70^circ) approx 10 cdot (-0.9397) approx -9.3969
Então, Z2 approx 3.4202 - 9.3969j

Passo 4

Agora que temos Z1 e Z2 na forma retangular, vamos calcular Z1 + Z2:
Z1 + Z2 = (3.5355 + 3.5355j) + (3.4202 - 9.3969j) = (3.5355 + 3.4202) + (3.5355j - 9.3969j) = 6.9557 - 5.8614j

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o produto Z1 cdot Z2:
Multiplicando dois números complexos na forma retangular:
(a + bj)(c + dj) = (ac - bd) + (ad + bc)j
Então:
Z1 cdot Z2 = (3.5355 cdot 3.4202) - (3.5355 cdot 9.3969)j + (3.5355 cdot -9.3969 + 3.4202 cdot 3.5355)j
Calculando:
  • Parte real: 3.5355 cdot 3.4202 approx 12.105
  • Parte imaginária: 3.5355 cdot -9.3969 + 3.4202 cdot 3.5355 approx -33.228 + 12.105 approx -21.123j
Portanto, Z1 cdot Z2 approx 12.105 - 21.123j

Passo 6

Agora, temos que calcular a expressão Z1 cdot Z2Z1+Z2:
12.105 - 21.123j6.9557 - 5.8614j
Para dividir dois números complexos na forma retangular, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Conjugado de 6.9557 - 5.8614j é 6.9557 + 5.8614j
Então:
(12.105 - 21.123j)(6.9557 + 5.8614j)(6.9557 - 5.8614j)(6.9557 + 5.8614j)

Passo 7

Vamos calcular o denominador primeiro:
(6.9557)^2 + (5.8614)^2 = 48.387 + 34.375 approx 82.762
Agora, o numerador:
Multiplicando:
12.105 cdot 6.9557 approx 84.120
12.105 cdot 5.8614j approx 70.850j
-21.123j cdot 6.9557 approx -146.980j
-21.123j cdot 5.8614j approx -123.810j^2
Lembrando que j^2 = -1, então o último termo vira +123.810
Somando tudo:
84.120 + 70.850j - 146.980j + 123.810 approx 207.930 - 76.130j

Passo 8

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
207.930 - 76.130j82.762 approx 2.510 - 0.920j

Resposta

A expressão Z1 cdot Z2Z1+Z2 resulta em aproximadamente 2.51 - 0.92j.

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