Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua soluçāo única, nenhuma soluçāo ou infinitas soluções. \left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=a \\\\ 2 y+3 z=b \\\ x-z=c\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z\) e constantes \(a,b,c\):
\[\begin{cases} 2x+y-z=a,\\[4pt] 2y+3z=b,\\[4pt] x-z=c. \end{cases}
O que se pede: determinar condições sobre (a,b,c] para que o sistema tenha
solução única;
nenhuma solução;
infinitas soluções.]
Passo 2
Estratégia e ideia principal (sem pular etapas). Para sistemas lineares com três incógnitas podemos usar a teoria matricial básica:
Formamos a matriz dos coeficientes A e o vetor coluna dos termos independentes \mathbf{d}. Se \det(A)\neq0, então A é invertível e o sistema tem solução única para qualquer \mathbf{d} (ou seja, para qualquer a,b,c). Isto vem do fato de que a solução é \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{d}.
Se \det(A)=0, então A não é invertível e há duas possibilidades: ou o sistema é inconsistente (nenhuma solução) ou é compatível indeterminado (infinitas soluções). Para decidir isso seria necessário comparar as linhas (ou os postos/ ranks) da matriz A e da matriz aumentada [A|\mathbf{d}].
Vou calcular \det(A). Se for não nulo, já resolvemos as três perguntas; se for zero, farei o estudo dos postos.
Passo 3
Monte a matriz dos coeficientes A e o vetor \mathbf{d}:
Como \det(A)\neq0, concluímos imediatamente que o sistema tem solução única para qualquer escolha de a,b,c. Assim não há valores de a,b,c que produzam ausência de solução nem infinitas soluções: essas duas situações só ocorreriam se \det(A)=0, o que aqui não acontece.]
Passo 4
Para praticidade e para ver na forma explícita como a solução depende de a,b,c, resolvo o sistema por substituição (passo a passo, modo de prova que dá fórmula explícita e é útil na prova):
Da terceira equação temos