Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua soluçāo única, nenhuma soluçāo ou infinitas soluções.
\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=a \\\\ 2 y+3 z=b \\\ x-z=c\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z\) e constantes \(a,b,c\): \[\begin{cases} 2x+y-z=a,\\[4pt] 2y+3z=b,\\[4pt] x-z=c. \end{cases}
O que se pede: determinar condições sobre (a,b,c] para que o sistema tenha
  • solução única;
  • nenhuma solução;
  • infinitas soluções.]

Passo 2

Estratégia e ideia principal (sem pular etapas). Para sistemas lineares com três incógnitas podemos usar a teoria matricial básica:
  • Formamos a matriz dos coeficientes A e o vetor coluna dos termos independentes \mathbf{d}. Se \det(A)\neq0, então A é invertível e o sistema tem solução única para qualquer \mathbf{d} (ou seja, para qualquer a,b,c). Isto vem do fato de que a solução é \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{d}.
  • Se \det(A)=0, então A não é invertível e há duas possibilidades: ou o sistema é inconsistente (nenhuma solução) ou é compatível indeterminado (infinitas soluções). Para decidir isso seria necessário comparar as linhas (ou os postos/ ranks) da matriz A e da matriz aumentada [A|\mathbf{d}].
    Vou calcular \det(A). Se for não nulo, já resolvemos as três perguntas; se for zero, farei o estudo dos postos.

Passo 3

Monte a matriz dos coeficientes A e o vetor \mathbf{d}:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{d}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}.
Calcule \det(A) expandindo pela primeira linha (mostrando cada menor):
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora calcule cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-3\cdot0=-2,
\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}=0\cdot(-1)-3\cdot1=-3,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-2\cdot1=-2.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-2)-1\cdot(-3)+(-1)\cdot(-2) = -4+3+2 = 1.
Portanto \det(A)=1\neq0.
Como \det(A)\neq0, concluímos imediatamente que o sistema tem solução única para qualquer escolha de a,b,c. Assim não há valores de a,b,c que produzam ausência de solução nem infinitas soluções: essas duas situações só ocorreriam se \det(A)=0, o que aqui não acontece.]

Passo 4

Para praticidade e para ver na forma explícita como a solução depende de a,b,c, resolvo o sistema por substituição (passo a passo, modo de prova que dá fórmula explícita e é útil na prova):
Da terceira equação temos
x-z=c\quad\Rightarrow\quad x=c+z.
Substitua em 2x+y-z=a:
2(c+z)+y-z=a \quad\Rightarrow\quad y+z+2c=a \quad\Rightarrow\quad y=a-2c-z.
Substitua y na segunda equação 2y+3z=b:
2(a-2c-z)+3z=b \quad\Rightarrow\quad 2a-4c-2z+3z=b \quad\Rightarrow\quad 2a-4c+z=b.
Isolando z:
z=b-2a+4c.
Agora volte em y e x:
y=a-2c-z = a-2c-(b-2a+4c)=3a-b-6c,
x=c+z = c+(b-2a+4c)=b-2a+5c.
Portanto a solução única (confirmando \det(A)\neq0) é
x=b-2a+5c,\qquad y=3a-b-6c,\qquad z=b-2a+4c,
válida para todos a,b,c.

Passo 5

Conclusão direta para as três situações pedidas:
  • solução única: ocorre sempre, para qualquer a,b,c\in\mathbb{R}, porque \det(A)=1\neq0;
  • nenhuma solução: não ocorre para nenhum a,b,c (isto é, não existem parâmetros que tornem o sistema inconsistente);
  • infinitas soluções: não ocorre para nenhum a,b,c.
Força aí — o sistema é bem comportado: sempre tem exatamente uma solução, e agora você tem as fórmulas explícitas para x,y,z na hora da prova.

Resposta

Solução única: para todo a,b,c\in\mathbb{R}.
Nenhuma solução: não existe a,b,c que provoque isso.
Infinitas soluções: não existe a,b,c que provoque isso.

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