Para cada item abaixo, considere a superfície definida pela equação em 3 variáveis. Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente. Dica: associe uma função de 3 variáveis com a superfície considerando a superfície dada como uma superfície de nível desta função.
a) Superfície x^2+y^2+z^2=16, ponto P0(raiz 3,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida por x^2 + y^2 + z^2 = 16 no ponto P0(raiz3, 2, 3) . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradientes, que nos ajudam a encontrar planos tangentes e retas normais a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície. A equação x^2 + y^2 + z^2 = 16 representa uma esfera com raio 4 centrada na origem. Para relacionar isso com uma função de três variáveis, podemos definir:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2
A superfície dada é então um nível da função f , onde f(x, y, z) = 16 .

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente e a reta normal, precisamos calcular o gradiente da função f no ponto P0 . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície no ponto considerado.
Calculando as derivadas parciais de f :
partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = 2y, partial fpartial z = 2z
Assim, o gradiente de f é:
nabla f(x, y, z) = lang<= 2x, 2y, 2z rang<=
No ponto P0(raiz3, 2, 3) , o gradiente fica:
nabla f(raiz3, 2, 3) = lang<= 2raiz3, 4, 6 rang<=

Passo 4

Com o gradiente em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto (x0, y0, z0) é:
nabla f(x0, y0, z0) cdot lang<= x - x0, y - y0, z - z0 rang<= = 0
Substituindo os valores:
2raiz3(x - raiz3) + 4(y - 2) + 6(z - 3) = 0
Vamos expandir isso:
2raiz3x - 6 + 4y - 8 + 6z - 18 = 0
Simplificando:
2raiz3x + 4y + 6z = 32

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto P0 . A reta normal passa pelo ponto P0 e tem como direção o gradiente da função naquele ponto.
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
x = x0 + a t, y = y0 + b t, z = z0 + c t
Onde lang<= a, b, c rang<= é o vetor direção, que é o gradiente nabla f(raiz3, 2, 3) = lang<= 2raiz3, 4, 6 rang<= . Então:
x = raiz3 + 2raiz3t, y = 2 + 4t, z = 3 + 6t

Resposta

A equação do plano tangente à superfície x^2 + y^2 + z^2 = 16 no ponto P0(raiz3, 2, 3) é:
2raiz3,x + 4,y + 6,z = 32
E a equação paramétrica da reta normal à superfície no mesmo ponto é:
x = raiz3 + 2raiz3,t y = 2 + 4,t z = 3 + 6,t

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