Para cada item abaixo, considere a superfície definida pela equação em 3 variáveis. Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente. Dica: associe uma função de 3 variáveis com a superfície considerando a superfície dada como uma superfície de nível desta função.
a) Superfície
, ponto
.
a) Superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida por
no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradientes, que nos ajudam a encontrar planos tangentes e retas normais a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície. A equação
representa uma esfera com raio 4 centrada na origem. Para relacionar isso com uma função de três variáveis, podemos definir:
A superfície dada é então um nível da função
, onde
.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente e a reta normal, precisamos calcular o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície no ponto considerado.
Calculando as derivadas parciais de
:
Assim, o gradiente de
é:
No ponto
, o gradiente fica:
Passo 4
Com o gradiente em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores:
Vamos expandir isso:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto
. A reta normal passa pelo ponto
e tem como direção o gradiente da função naquele ponto.
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde
é o vetor direção, que é o gradiente
. Então:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é:
E a equação paramétrica da reta normal à superfície no mesmo ponto é: