Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis.
Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado.
Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente.
a) Função f(x, y)=raizx^2+y^2, ponto P0(raiz 2, raiz 2,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície definida pela função f(x, y) = raizx^2 + y^2 no ponto P0(raiz2, raiz2, 2) . Isso envolve derivadas parciais e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas de f em relação a x e y , usar a fórmula do plano tangente e depois definir a reta normal com base no vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f(x, y) = raizx^2 + y^2 em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx(x, y) = partialpartial x raizx^2 + y^2 = xraizx^2 + y^2
E a derivada parcial em relação a y é:
fy(x, y) = partialpartial y raizx^2 + y^2 = yraizx^2 + y^2

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto P0(raiz2, raiz2, 2) . Substituindo x = raiz2 e y = raiz2 nas derivadas:
fx(raiz2, raiz2) = raiz2raiz (raiz2)^2 + (raiz2)^2 = raiz2raiz2 + 2 = raiz22
fy(raiz2, raiz2) = raiz2raiz (raiz2)^2 + (raiz2)^2 = raiz22

Passo 4

Com as derivadas parciais no ponto P0 , podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície z = f(x, y) no ponto (x0, y0, z0) é:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que temos:
z = 2 + raiz22 (x - raiz2) + raiz22 (y - raiz2)
Simplificando:
z = 2 + raiz22x - raiz22raiz2 + raiz22y - raiz22raiz2
z = 2 + raiz22x + raiz22y - 1 - 1
z = raiz22x + raiz22y

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto P0 . A reta normal é aquela que é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto de tangência. O vetor normal ao plano tangente é dado pelos coeficientes das variáveis x , y e z na equação do plano. No nosso caso, como a equação do plano está na forma z = raiz22x + raiz22y , o vetor normal é n = ( raiz22, raiz22, -1 ) .

Passo 6

Com o vetor normal [\vec{n} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 \right)) e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Onde (t] é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto P0(raiz2, raiz2, 2) é:
z = raiz22x + raiz22y
E a equação paramétrica da reta normal à superfície nesse ponto é:
x = raiz2 + raiz22 t y = raiz2 + raiz22 t z = 2 - t

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