Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis.
Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado.
Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente.
a) Função , ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície definida pela função no ponto . Isso envolve derivadas parciais e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas de em relação a e , usar a fórmula do plano tangente e depois definir a reta normal com base no vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Substituindo e nas derivadas:
Passo 4
Com as derivadas parciais no ponto , podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto . A reta normal é aquela que é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto de tangência. O vetor normal ao plano tangente é dado pelos coeficientes das variáveis , e na equação do plano. No nosso caso, como a equação do plano está na forma , o vetor normal é .
Passo 6
Com o vetor normal [\vec{n} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 \right)) e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Onde (t] é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto P0(raiz2, raiz2, 2) é:
z = raiz22x + raiz22y
E a equação paramétrica da reta normal à superfície nesse ponto é:
x = raiz2 + raiz22 t y = raiz2 + raiz22 t z = 2 - t