Calcule o valor da quantidade dada com três casas decimais de precisão, usando uma série binomial.
(b) raiz[3]66

Passo 1

A questão pede para calcular raiz[3]66 com três casas decimais usando série binomial. O conteúdo principal aqui é a expansão binomial para potenciações não inteiras, e vamos precisar da fórmula geral
(1+x)^p = 1 + p,x + p(p-1)2x^2 + p(p-1)(p-2)6x^3 + cdots
com p=tfrac13.

Passo 2

Primeiro escolhemos um valor próximo de 66 que seja um cubo perfeito: 64 (=4^3). Então escrevemos
66 = 64,(1+x),
onde
x = 66-6464 = 0.03125
Logo
raiz[3]66 = 4,(1+x)^1/3
Usamos a expansão até o termo em x^3 para ter precisão:
(1+x)^1/3 approx 1 + x3 + tfrac13(tfrac13-1)2x^2 + tfrac13(tfrac13-1)(tfrac13-2)6x^3
Calculando os coeficientes:
13, tfrac13(!-tfrac23)2 = -19, tfrac13(!-tfrac23)(!-tfrac53)6 = 581

Passo 3

Agora substituímos x=0.03125 nos termos:
x/3 = 0.010416667, x^2 = 0.0009765625 implies x^2/9 = 0.000108507,
x^3 = 0.0000305176 implies 5x^3/81 = 0.000001884
Somando na expansão:
(1+x)^1/3 approx 1 + 0.010416667 - 0.000108507 + 0.000001884 = 1.010310044
Multiplicando por 4:
raiz[3]66 approx 4times1.010310044 = 4.041240176

Passo 4

Arredondando para três casas decimais, obtemos o valor final 4.041.

Resposta

4.041

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