Para cada item abaixo, decida para quais intervalos cada função é contínua.
h(x)=sen(x);

Passo 1

O enunciado pede para determinar em que intervalos a função
h(x)=sin(x)
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções elementares, em particular das funções trigonométricas.

Passo 2

Uma forma de ver que sin(x) é contínua para todo xinR é usar sua expansão em série de potências, válida em todo o eixo real:
sin(x)=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!
Cada termo (-1)^nx^2n+1(2n+1)! é um polinômio em x (portanto contínuo), e sabe-se que a soma de uma série de potências convergente uniformemente em qualquer intervalo limitado é uma função contínua nesse intervalo. Como essa série converge para todo x, concluímos que sin(x) é contínua em todo o domínio real.

Passo 3

Outra justificativa, equivalente em nível de graduação, é observar que as funções elementares (polinômios, exponenciais, senos, cossenos etc.) são definidas de modo a serem contínuas em todo R.

Resposta

A função sin(x) é contínua em todo o conjunto dos números reais, isto é, no intervalo
(-infty,infty)

Exercícios relacionados