Questão 4 (2.5 pts) Considere o campo F=e^z i+2 y z j+(x e^z+y^2) k
(a) Mostre, justificando sua resposta, que F é um campo conservativo;
(b) Determine um potencial para o campo F;
(c) Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é a curva parametrizada por alpha:[0,2 pi] R^3, alpha(t)=(cos t, sen t, t)

Passo 1

O enunciado dá o campo
F(x,y,z) = e^z,i + 2yz,j + l(xe^z + y^2r),k
e pede:
(a) mostrar que F é conservativo;
(b) encontrar um potencial phi tal que nablaphi=F;
(c) calcular
integralCFcdot dr
sobre a curva alpha(t)=(cos t,;sin t,;t), tin[0,2pi].
Conteúdo: campos conservativos e teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Para mostrar que F é conservativo, calculamos seu rotacional e verificamos que é zero em todo R^3, que é simplesmente conexo.
Se F=(P,Q,R) com
P=e^z, Q=2yz, R=xe^z+y^2,
então
nablatimesF =l(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr)
Calculando cada componente:
Ry=partialpartial y(xe^z+y^2)=2y, Qz=partialpartial z(2yz)=2y Longrightarrow Ry-Qz=0,
Pz=partialpartial z(e^z)=e^z, Rx=partialpartial x(xe^z+y^2)=e^z Longrightarrow Pz-Rx=0,
Qx=partialpartial x(2yz)=0, Py=partialpartial y(e^z)=0 Longrightarrow Qx-Py=0
Logo nablatimesF=0 em todo R^3, logo F é conservativo.

Passo 3

Buscamos phi(x,y,z) com
partialphipartial x=e^z, partialphipartial y=2yz, partialphipartial z=xe^z+y^2
Integrando partialphi/partial x=e^z em x:
phi(x,y,z)=x,e^z+g(y,z)
Então
partialphipartial y=gy(y,z)=2yz Longrightarrow g(y,z)=y^2z+h(z)
Agora partialphi/partial z deve dar xe^z+y^2. Calculando:
partialphipartial z = x e^z + partialpartial z(y^2z) + h'(z) = x e^z + y^2 + h'(z)
Igualando a xe^z+y^2 vem h'(z)=0, logo h é constante.
Podemos tomar a constante igual a zero. Assim,
boxedphi(x,y,z)=x,e^z+y^2z

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
integralCFcdot dr =phil(alpha(2pi)r)-phil(alpha(0)r)
Aqui alpha(t)=(cos t,sin t,t).
Em t=0: alpha(0)=(1,0,0)
phi(1,0,0)=1cdot e^0+0^2cdot0 = 1
Em t=2pi: alpha(2pi)=(1,0,2pi)
phi(1,0,2pi) =1cdot e^2pi+0^2cdot(2pi) =e^2pi
Logo
integralCFcdot dr =e^2pi-1

Resposta

(a) F é conservativo porque nablatimesF=0 em R^3.
(b) phi(x,y,z)=x,e^z+y^2z.
(c) integralCFcdot dr=e^2pi-1.

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