Questão 4 (2.5 pts) Considere o campo
(a) Mostre, justificando sua resposta, que
é um campo conservativo;
(b) Determine um potencial para o campo
;
(c) Calcule a integral de linha
, onde
é a curva parametrizada por
(a) Mostre, justificando sua resposta, que
(b) Determine um potencial para o campo
(c) Calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá o campo
e pede:
(a) mostrar que é conservativo;
(b) encontrar um potencial tal que
;
(c) calcular
(a) mostrar que
(b) encontrar um potencial
(c) calcular
sobre a curva
,
.
Conteúdo: campos conservativos e teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
Conteúdo: campos conservativos e teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
Passo 2
Para mostrar que
é conservativo, calculamos seu rotacional e verificamos que é zero em todo
, que é simplesmente conexo.
Se com
Se
então
Calculando cada componente:
Logo
em todo
, logo
é conservativo.
Passo 3
Buscamos
com
Integrando
em
:
Então
Agora
deve dar
. Calculando:
Igualando a
vem
, logo
é constante.
Podemos tomar a constante igual a zero. Assim,
Podemos tomar a constante igual a zero. Assim,
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
Aqui
.
Em :
Em
Em
:
Logo
Resposta
(a)
é conservativo porque
em
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)