Questão 5 (Extra) (1.0 pts) Seja uma função de classe . Verifique que:

Passo 1

O enunciado pede verificar a identidade de cálculo vetorial para uma função fcolon R^3toR de classe C^2:
divl(f,nabla fr)=f,De<a f+|nabla f|^2
Vamos usar as definições de gradiente, divergência e Laplaciano, além da regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Recordando as definições em coordenadas cartesianas (x1,x2,x3):
nabla f = l(partial1 f,partial2 f,partial3 fr), De<a f = sumi=1^3partiali^2 f,
divl(f,nabla fr)=sumi=1^3partialil(f,partiali fr)

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para cada termo da soma:
partialil(f,partiali fr) =l(partiali fr),l(partiali fr) +f,partiali^2 f =(partiali f)^2 + f,partiali^2 f

Passo 4

Somando em i de 1 a 3, obtemos
divl(f,nabla fr) =sumi=1^3l[(partiali f)^2 + f,partiali^2 fr] =sumi=1^3(partiali f)^2 +fsumi=1^3partiali^2 f

Passo 5

Reconhecendo as somas:
sumi=1^3(partiali f)^2 = |nabla f|^2, sumi=1^3partiali^2 f = De<a f,
chegamos à identidade desejada:
divl(f,nabla fr)=|nabla f|^2 + f,De<a f

Resposta

divl(f,nabla fr)=f,De<a f+|nabla f|^2

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